SULLE CORRISPONDENZr FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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allora, come si fece al n" G pel caso di due curve C, C coincidenti, che gli a punti x 

 di C omologhi di un punto y variabile su C , variano in una serie lineare d'ordine a. 

 Estendendo la denominazione già usata per le corrispondenze sopra una curva, di- 

 remo in tal caso che la T è una corrispondenza a valenza zero. 



Chiameremo poi curve a valenza zero quelle curve di F che sono immagini di 

 corrispondenze a valenza 0. Una curva T a valenza zero è caratterizzata dal fatto 

 che il gruppo delle P curve Ky passanti pei punti comuni ad essa e ad una /C, mu- 

 tando questa, varia in una serie lineare d'ordine entro al fascio | | ; e quindi 

 che il gruppo delle a curve /C che passano pei punti in cui T è segata da una Ky, 

 al variare di questa, varia in una serie lineare d'ordine a, entro al fascio \K^\. 



Più brevemente si può dire che una curva a valenza zero è caratterizzata dal 

 fatto di segare sopra ogni curva del fascio \K^\ (o \Ky\), un gruppo che equivale a 

 quello segato da un conveniente insieme di curvo K,i (o K^. 



Questa proprietà si potrebbe dunque assumere come definizione delle curve a 

 valenza zero, ove si volessero definire direttamente sulla superficie F. 



Le curve che appartengono ad un sistema lineare somma di una serie lineare 

 del fascio l^^] con una serie lineare di \Ky\, godono appunto di questa proprietà. 



Ma è importante dimostrare che, viceversa, ogni curva a valenza zero è conte- 

 nuta totalmente in un sistema lineare somma di curve dei due fasci. 



A tal uopo supponiamo che la superficie F appartenga allo spazio ordinario, 

 ipotesi che, nella questione attuale, non è restrittiva. — Il sistema lineare indivi- 

 duato dalla curva 7',. composta mediante le Ky che passano pei punti comuni ad 

 una K e ^d una curva T a valenza zero, sarà segato su fuori di certe curve 

 fisse Q, da un sistema lineare di superficie qp {yi y^ y^ y^) — 0, ove y-i ... y^ son coordi- 

 nate omogenee di punto; e in particolare le oo^ curve Ty, che si ottengono facendo 

 variare la K scelta, saranno segate da un sistema algebrico oci di superficie cp. 

 Poiché per ogni punto di F passa una K^ e questa individua una curva composta Ty, 

 i coefficienti delle y nell'equazione ^> iyi ■.■ y.i) = , saranno funzioni razionali del 

 punto variabile su F, sicché Tequazione di una qp del sistema ooi si poti'à scrivere 

 sotto la forma: 



{xi X2 xs x^ I i/i </2 yz yi) = 0, 



ove è il simbolo di un polinomio omogeneo di grado m nelle x, omogeneo di grado 

 m' nelle y. 



Dato un punto {y1 ... y1) della F per esso passa una Ky la quale sega Tin a punti, 

 e il gruppo delle K passanti per questi a punti, sarà segato su F, fuori di certe 

 curve R, dalla superficie: 



Mjo = {xi Xs Xi I yl yl yl t/J) = 0. 



La superficie: 



[x 1 x^ X^ X^ j Xi X2 x^ x^ 



di ordine"?» -|- w', passa per le curve Q ed E, e quindi appartiene al sistema lineare 

 somma di quelli a cui appartengono le qp e le qj. Ne segue che essa, fuori delle 

 eventuali curve fisse, sega su F una curva L appartenente al sistema lineare somma 

 di quelli segati (fuori delle curve fisse) dalle qp e dalle \]), ossia una curva del 



