SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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Osservazione. — Noteremo, perchè ci servirà in seguito, che se sopra una curva 

 le n corrispondenze 7\ ... Tu sono dipendenti secondo i numeri vXi,...,vXm ove v e 

 le X sono interi, lo sono anche secondo i numeri X, ... X„. Difatti dall'essere: 



I vX,.nf, = 0, 

 e=i 



8Ì trae: 



I X,. ni = 0. 



PARTE SECONDA 



Sulle superficie che rappresentano le coppie di punti 

 di una o due curve. 



§ 1. — Le superficie con due fasci unisecantisi 



12. Generalità. — Genere e grado di una corrispondenza fra due curve. — Sia 

 F una superficie che rappresenti senza eccezione le coppie di punti di due curve C, C 

 di generi p^, p^- 



Ogni punto a; di C fa parte di ooi coppie le quali son rappresentate su F da 

 una curva K^; variando il punto a; su C si hanno oc' curve che costituiscono un 

 fascio \ K^\ di genere pi. Similmente ai punti y di C rispondono su F le curve di 

 un fascio l/f^' di genere p2. e le segano in un punto ogni 7C- 



Viceversa ogni superficie con due fasci | /T, | , \K^ \ unisecantisi, rappresenta le 

 coppie di punti di due curve C, C , ciascuna delle quali è riferita biunivocamente 

 agli elementi (curve) di uno dei due fasci. 



Le coppie x, y dei punti che sono omologhi in una data corrispondenza alge- 

 brica T fra C, C, son rappresentate su F da una curva algebrica, che denoteremo 

 colla lettera stessa T con cui si denota la corrispondenza. Se ad un punto x rispon- 

 dono P punti // e ad un punto y rispondono a punti x. la curva T sarà segata in 

 (5 punti da ogni curva e in a punti da ogni Ky. I due indici a, P della corrispon- 

 denza si chiameranno anche gli indici della curva T. 



Viceversa ogni curva algebrica T tracciata su F pone fra le curve dei due fasci 

 |JCj|,iiiry| una corrispondenza algebrica, ove si chiamino omologhe due curve dei 

 fasci stessi quando si tagliano in T; e quindi essa rappresenta una corrispondenza 

 algebrica tra C, C. Le curve dei due fasci unisecantisi sono immagini di cori*ispou- 

 denze degeneri. 



Qui si presenta spontanea l'introduzione di due nuovi caratteri di una corri- 

 spondenza T fra C, C": il genere e il g}-ado (virtuali) della curva Stracciata su F {*), 

 i quali si indicheranno rispettivamente con p, v. 



(*) Per la de6nizione di questi caratteri cfr. Castelnuovo-Enriques, Sopra alcune questioni fon- 

 damentali nella teoria delle superficie ahjebriche. ' Annali di Matematica (3\ t. 6 (1901), n° 1. 



