18 



FRANCESCO SEVERI 



Siccome non vi possono essere più di 2^^ sistemi indipendenti del tipo (12) 

 (HuRwiTz, p. 582), il numero delle corrispondenze indipendenti ammetterà un mas- 

 simo non superiore a 'IjP'. 



Supponiamo che i |a sistemi (13) sieno indipendenti e che non se ne possano 

 trovare piìi di ili indipendenti. Allora, dato un altro sistema di soluzioni delle (12), 

 si potranno trovare dei numeri interi X, Xi,...,X^ non tutti nulli, in guisa che: 



XTTki = I Xf Tif, {k,l=\, 



£=1 



ed anzi X non potrà mai esser nullo. 



In tal caso si dirà che le \x corrispondenze ... 7)^ che si ottengono dalle (13), 

 formano una base. 



Che se poi si scelgono i |li sistemi in modo che il numero X risulti uguale ad 1 

 per ogni sistema di soluzioni delle (12), in modo cioè che si abbia: 



TTk, = IXeTTfj (e = l,...,M), 



ove le X son numeri interi, si dice che le |u corrispondenze ... formano una 



base miniina. 



La possibilità di indursi alla base minima accennata in Hurv^titz (p. 582), tro- 

 vasi ad es. dimostrata nelle lezioni citate di Klein sulla teoria delle funzioni mo- 

 dulari ellittiche (p. 543). 



Riassumendo possiamo enunciare : 



Data una curva di genere p è possibile scegliere su essa un numero finito non 

 superiore a 2 p^, di corrispondenze indipendenti ... tali che se T è un'altra cor- 

 rispondenza qualsiasi esistente sulla curva, le T Ti ... sien dipendenti secondo i nu- 

 meri (1 Xi ... \f( ). 



I numeri Xj ... X^, sono individuati una volta assegnata la T, perchè altrimenti 

 le Ti ... Tf, risulterebbero dipendenti. Quei numeri si chiamano perciò i caratteri della 

 corrispondenza T. 



Per le curve generali del genere p, il massimo \x è uguale ad 1, e come base 

 minima si può assumere l'identità o una qualsiasi corrispondenza elementare. 



Dicendo u u^ ... U/, i numeri dei punti uniti nelle corrispondenze T ... di 

 indici rispettivi (a p), (a^ R^), (a^{3/<), avremo per la (10): 



M = a + p 4- Xi (oi 4- Pi — Mi) + ... 4- X^, (a„ + — ). 

 I numeri interi: 



c, = a. + Pi — M, {i = 2, ... , ^) 



non dipendono dalla corrispondenza considerata, ma sibbene dalla natura della curva, 

 e la forinola 



!< = a -L- p + Ci Xi + ... + Cf, \fi 

 esprime il principio generale di corrispondenza sopra una curva algebrica qualsiasi. 



