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FRANCESCO SEVERI 



Dunque : 



Se sopra una curva si hanno k corrispondenze di indici Oi Pi,...,afcpfc dipendenti 

 secondo i numeri Xi ... X^, positivi o negativi, le quali sieno dotate di Ui ... u^ punti uniti, 

 ha luogo la relazione: 



(10) Xi Mi + ... + X, u, = h («1 + Pi) + ... + X. (a. + P.). 



La nota formola di Cayley (*), che è così utile nella risoluzione del problema 

 dei contatti, si ottiene come caso particolare di questa relazione supponendo tutte 

 le X positive. 



11. Esistenza di un massimo pel numero delle corrispondenze indipendenti solerà 

 una curva. — Base del sistema di tutte le corrispondenze. — Data una curva C, è 

 possibile scegliere su essa un numero finito di corrispondenze indipendenti, in guisa 

 che ogni altra corrispondenza risulti dipendente da quelle? 



Per rispondere a questa domanda dovremo far uso dello strumento trascendente, 

 di cui finora non profittammo. 



Cominceremo perciò dal richiamare la rappresentazione delle corrispondenze 

 algebriche con integrali abeliani, dovuta al sig. Hurwitz. 



Se dato il punto a si chiamano iji ...y.ì i punti omologhi ad esso in una cor- 

 rispondenza algebrica T, data sopra la curva C, variando a si vede che la somma 

 dei valori di un integrale di 1* specie ai punti yi ... i/b, gode delle proprietà carat- 

 teristiche di un integrale di l-'^ specie al punto a. Sicché dicendo «j ... Up i p inte- 

 grali normali di l-"* specie annessi a C, hanno luogo le relazioni: 



(11) I (</,) = Z TT,, Ui (a) + TT, {k = l,...,p) 



r=l 1=1 



ove le TT sono indipendenti dalla posizione di a. 



La tabella dei periodi degli integrali Ui ... Up sia: 



1 ... Tu Ti2 . . . Tip 



1 ... T21 T22 . . . T2p 



(T.fc = T,.) 



1 T^i Tpp 



Facendo descrivere ad a cammini chiusi convenienti a partire da una posizione 

 iniziale e uguagliando le variazioni dei due membri delle (11), si ottengono le 

 relazioni : 



'"ki = hi -f - ^ì^.iTfc, 



^ ik,l = l, ...,p), 



ZTT„,T,ì = H^i -f Z(?,iT;., 

 «=l i=\ 



(*) " Transactions of the Royal Society t. 158, p. 149 (1868). Vedasi anche Segre, Introdu- 

 zione, n" 49. 



