SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



15 



Osservazione. — Questo ragionamento non servirebbe più nel caso che una delle 

 corrispondenze fosse l'identità, come accadeva al n° 7. Si può però osservare che 

 anche in tal caso la proposizione rimane valida, come si vedo appunto profittando 

 del n'' 7. 



10. Relazione geometrica fra i (/ruppi dei punti uniti di piìi corrispondenze dipen- 

 denti. — Forinola di corrispondenza relativa. 

 Dimostriamo che: 



Se nelle corrispondenze Tj ... dipendenti secondo al punto di. rispondono 



i gruppi di punti ... Y^, mentre nelle corrispondenze inverse al punto stesso rispon- 

 dono i gruppi Xj ... Xi, indicando con Ui ... Ui i gruppi dei punti uniti nelle Ti ... T^, 

 si ha: 



(9) K Ih + h U-2 + - \ Ih ^ Al (Xi + Y,) + ... + X, (A',+ r,). 



Per semplicità svilupperemo la dimostrazione nel caso k=2\ si vedrà subito 

 come si estenda al caso generale. 



Supponiamo, come dianzi, che Xi sia positivo e Xg negativo (= — Xj'), e usiamo 

 le stesse notazioni del numero precedente. Costruiscasi, come allora, la corrispon- 

 denza S tale che : 



-\- = Y^' -\- F3', 



e ricordiamo che la corrispondenza \iTi-\^ X^' S, che nasce dal chiamare omologhi 

 di a i punti del gruppo Xj + Xg'Fj, è a valenza zero. I punti uniti di questa cor- 

 rispondenza cadono nei punti del gruppo U^, che sono uniti nella T^, e nei punti 

 del gruppo V costituito dai punti uniti di S. Giacche in ogni punto del gruppo Y■^ 

 omologo di a nella Ty, cadono Xj punti omologhi di a nella corrispondenza Xj Ti-t-Xa'S, 

 un punto unito di equivarrà a \ coincidenze della corrispondenza Xi Tj -|- X,' S. 

 Similmente ogni punto del gruppo conterà X2' volte fra i punti uniti di X^ -|- Xj'/S. 

 Dunque le coincidenze di quest'ultima costituiscono il gruppo X^ -j- Xo' V, e perciò 

 se chiamiamo il gruppo degli omologhi di a nella S~\ in virtù del risultato del 

 \\° 6, avremo: 



, K l\ -f X2' F = K {X, + Fi) + (X3 H- Y,). 



Dalla considerazione della corrispondenza -\- S, pure a valenza zero, simil- 

 mente si trae: 



U,^V^iX, + Y,) + {X,-\-Y,). 

 Moltiplicando questa per Xj' e sottraendola dopo ciò dalla precedente, viene: 

 Xi U, + X2 fJ^ = Xi (Xi-f Fi) + X, {X,4- Fa) c. d. d. 



Interpretando numericamente la relazione geometrica ottenuta, si ha una for- 

 mola di corrispondenza molto importante. 



Se diciamo «, il numero dei punti di U,, a, il numex'o dei punti di X,, P, il nu- 

 mero dei punti di F,, avremo: 



K «1 + ... + X, = Xi (oi -j- Pi) -r ... + X, (a, + pk). 



