14 



FRANCESCO SEVERI 



È evidente che se ... son dipendenti secondo (Xi ... X^) lo sono anche se- 

 condo (|uXi ... |LiX(,). ove jn è un intero positivo o negativo, arbitrario. 



Le due osservazioni fatte al principio di questo numero si possono ora enunciare 

 nel modo seguente : 



Ogni corrispondenza a valenza dipende dall'identità. 



Due corrispondenze a valenza son sempre dipendenti. 



Estendendo una proposizione del n" 7 dimostriamo che: 



Se le corrispondenze ... son dipendenti secondo (X^ ... X^), anche le loro inverse 

 son dipendenti secondo gli stessi numeri. 



Limitiamoci per brevità al caso A- = 2, e supponiamo che X2, ad esempio, sia 

 negativo (= — Xj') e X^ positivo. Fissiamo una serie g'„, convenientemente ampia, 

 in modo che vi sia un solo suo gruppo passante per ogni gruppo F2 costituito dagli 

 omologhi di a nella T2 (si fissino, p. es., p punti generici della curva di genere p, 

 e si consideri la serie, non speciale, individuata da quei p punti insieme ad un par- 

 ticolare gruppo F2). Chiamando F3 quel gruppo che insieme ad un dato costi- 

 tuisce un gruppo della gl, fissata, e conservando pel resto le solite notazioni, avremo 

 che la relazione : 



Xj Fi -|- X2 F2 = Xi Yi -\- Xg F2' 



equivale alla: 



(7) KY,^\,'Y,^KY,' -^h'Y,'. 



Se si chiamano omologhi del punto variabile a i punti del gruppo F3 ad esso 

 relativo, otterremo una corrispondenza algebrica S, tale che : 



F2 + F3 - F2' + F3'. 



Da ciò deriva che se la inversa di S fa corrispondere ad a il gruppo X3, e 

 ad a' il gruppo X^', sarà similmente (n° 6) : 



(8) X2 + X3= Xa' + Xa', 



ove X2 (0 Xo') è il gruppo degli omologhi di a (0 a') nella 2^'. 



La corrispondenza Xj Ti -\- Xg' S, che si ottiene chiamando omologhi di a i punti 

 del gruppo F^ contati ciascuno X^ volte, e quelli di F3 contati Xg' volte, in virtù 

 della (7) risulta a valenza zero, sicché anche la sua inversa, clie fa corrispondere 

 ad a il gruppo X^Xi -\- X^Sf sarà a valenza zero. Quindi avremo: 



\iXi -|- Xg'Xa = Xi .Y/ ~\- \.2 X^' , 



ove Xi (0 Xi') è il gruppo degli omologhi di « (0 a') nella Tf\ 



Moltiplicando per Xg' i due membri della (8), e sottraendola poi dall'ultima re- 

 lazione, verrà: 



Xj Xi — X2' X2 = Xi Xi' — X2' X2', 



ossia : 



Xi Xi + X2X2 = K X/ + X, X2' c. d. d. 



