SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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§ 3. — Sulla determinazione 

 di tutte le corrispondenze esistenti sopra una curva qualsiasi. 



9. Estensione del concetto di valenza. — Sia una corrispondenza a valenza Ti 

 sulla curva C, e sieno Fi, F/ i gruppi degli omologhi di a, a' nella Ti. Allora si ha: 



Fi+Tia= F/ + Ti«', 



la quale ci mostra che al variare di a, il gruppo do' suoi omologhi nella corrispon- 

 denza jTi , aumentato di Ti volte l'omologo di a nella corrispondenza identica /, varia 

 in una serie lineare (*). Ciò si esprimerà dicendo che le corrispondenze Ti ed / sono 

 dipendenti secondo i numeri (1, Ti). 



Sia T, un'altra corrispondenza a valenza T2- Avremo similmente: 



Fa + T2« = Fa' + f^a', 



la quale combinata colla precedente dà: 



T2Fi-TiF2^T2F/-TiF/. 



Dunque al variare di a il gruppo de' suoi omologhi nella T^ , contato T2 volte, 

 aumentato di — Ti volte il gruppo de' suoi omologhi nella T2, varia in una serie 

 lineare. Perciò diremo che le corrispondenze T^, T2 son dipendenti secondo i nu- 

 meri (T2, — Ti). 



Si presenta ora spontaneamente l'idea che il concetto di dipendenza si possa 

 stabilire anche fra più di due corrispondenze, prescindendo dall'ipotesi che le cor- 

 rispondenze stesse siano dotate di valenza. 



E noi infatti diremo che le corrispondenze T^, T,; date sopra una curva C sono 

 DIPENDENTI, quando esistono k interi ... {positivi negativi) non tutti nidli, tali che 

 indicando con Y, il gruppo degli omologhi di un punto qualunque a nella T,, al variare 

 di a il gruppo {virtuale) Xj -j- ... -|- X^ Y^ varii in una serie lineare. 



In altri termini se F/ è il gruppo degli omologhi del punto a' nella Ti, la con- 

 dizione di dipendenza è espressa dalla relazione: 



(6) Xi F, + ... + X, F, = Xi Y,' + ... + X, F;. 



Nel caso che una tal relazione non sia possibile se non quando le X son tutte 

 nulle, le k corrispondenze si diranno indipendenti. 



Quando piìi corrispondenze sono fra loro dipendenti, talora diremo che una qua- 

 lunque di esse è dipendente dalle rimanenti. Allorché poi occorra tener presenti gli 

 interi pei quali la (6) è soddisfatta, diremo pure che le corrispondenze T^ ... T^ son 

 dipendenti secondo (Xj ... l^). 



(•) A proposito di questa locuzione cfr. il n° 3. 



