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FRANCESCO SEVERI 



Dalle relazioni: 



sommando si trae: 



F= Xo+ Yo-{-hK-\-2ha, 



la quale dimostra il teorema per la corrispondenza S. 



Sia ora T una qualunque corrispondenza a valenza negativa f, riferendoci alla 

 quale conserviamo le notazioni dell'enunciato. Indicando con h il valore assoluto di y, 

 si costruisca come sopra una corrispondenza S somma di h corrispondenze elementari. 



La somma delle due corrispondenze S, T, che è a valenza nulla, fa corrispon- 

 dere ad a il gruppo Y -\- Y^, mentre la sua inversa fa corrispondere ad a il gruppo 

 X-\- Xq-, e inoltre la T ha per gruppo dei punti uniti il gruppo U -\- V. Dunque 

 avremo (n° 6): 



f7+F = (x-f-Xo) + (r+ro). 



Sottraendo da questa la relazione precedentemente ottenuta, viene: . ' 



U=X-\- r+T^ + 2Ta. 



Così è dimostrata la proposizione per tutte le corrispondenze a valenza negativa. 



Avendosi ora una corrispondenza T a valenza positiva t, si costruisca una cor- 

 rispondenza T' a valenza negativa — y (il che è sempre possibile) e si dicano Y', X' 

 i gruppi degli omologhi di a nella T' e nella T'~^ rispettivamente, e U' il gruppo 

 dei punti uniti di T'. Conservando ancora per la Tle notazioni dell'enunciato, poiché 

 la somma T -\- T' è a valenza nulla, avremo: 



U+U'^{X+X') + {Y+Y'), 



ed essendo T' a valenza negativa, per quanto abbiamo prima dimostrato, sarà: 



U' = X' ^Y' — -iK—^-^a. 



Da questa e dalla precedente per sottrazione si trae: 



U= X-\- r+TÌ^+2Ta, 



la quale dimostra il teorema per tutte le corrispondenze a valenza positiva. 



Osservazione. — Dal principio di corrispondenza già enunciato, tenendo conto 

 della 2* proposizione del n° 5, segue facilmente che: 



Il numero dei punti uniti della corrisjmidenza prodotto delle corrispondenze 

 {P-i Pi Ti) ••• (Ofc Pfc Tfc); ove a, p, y denotano rispettivamente gli indici e le valenze, positive 

 negative, delle corrispondenze considerate, è dato da: 



ai 02 ... a, + Pi ... + (- If^' . 2ti ... T.p. 



