SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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sussisterà la relazione: 



Sottraendo dalla 2» la 1», viene: 



X-\-fa = X' -\--^a' c. d. d. 



8. Determinazione del gruppo dei punti uniti in una corrispondenza a valenza 

 qualsiasi. — Numero delle coincidenze. — Torniamo per un momento ad una corri- 

 spondenza elementare T, che si sia ottenuta partendo da una gl, e diciamo Y il 

 gruppo degli n — 1 punti omologhi di a nella T, e X il gruppo degli omologhi di 

 a nella T~\ Siccome T— T~' il gruppo X coinciderà con Y. 



Il gruppo r dei punti uniti di T non è che il gruppo jacobiano della gl,, e come 

 si sa questo gruppo è equivalente ad un gruppo canonico aumentato di un gruppo 

 della serie 2g„. Perciò dicendo K un gruppo canonico di C, avremo la relazione: 



X-\- Y-i-2a + K. 

 Servendoci di questa, dimostriamo più in generale che: 



Avendosi fra i punii di una curva una corrispondenza T a valenza y {positiva, 

 negativa o nulla), il gruppo U dei punti uniti è equivalente alla somma dei gruppi Y, X, 

 che contengono gli omologhi di a nella T e nella T~\ di t gruppi canonici e di 2f volte 

 il punto a; ossia in simboli: 



(4) t^=X+ y+TÌ^+2Ta, 



ove K rappresenta un gruppo canonico. 



Interpretando numericamente la relazione geometrica data da questo teorema 

 si ha: 



» = a4-p + T(2j9 — 2) + 2t, 



ove u è il numero dei punti uniti, a, [3 son gli indici di T, q p e \\ genere della 

 curva. Si può dunque dire : 



Il mimerò dei punti uniti nella corrispondenza T d'indici a, di valenza t, data 

 fra i punti di una curva di genere p, è espresso dalla formola: 



(5) a + p + 2T;>. 



Dimostriamo prima la (4) per una corrispondenza S somma di h{> 0) corrispon- 

 denze elementari Ti ... T^. 



Indicando con Fj Y2 ... Yf, i gruppi degli omologhi di a nelle corrispondenze 

 Ti ... Ti,, e con Xi X2 ... X,^ i gruppi degli omologhi di a nelle inverse, si vede che 

 la S fa corrispondere al punto a il gruppo Yo = Fi -|- ... -j- Y^, e la 5"' fa corri- 

 spondere ad a il gruppo Xq = Xi -\- ... -\- X,,. Inoltre il gruppo V dei punti uniti 

 di S sarà la somma dei gruppi Ui ... dei punti uniti di ... T^. 



