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FRANCESCO SEVERI 



Ne viene che gli omologhi nella T ' di un dato punto saranno segati su C 

 dalla curva: 



non passante per y^, fuori eventualmente di certi punti appartenenti ad un gruppo R 

 comune a tutte le ¥ di ordine tn analoghe ad essa. Da ciò intanto si trae che la in- 

 versa della T ita pure la valenza zero. 



La curva O ( ) = 0, di ordine m -j- m', passa evidentemente pei 



punti dei due gruppi ^ ed i2, e quindi appartiene al sistema lineare somma dei due 

 sistemi contenenti rispettivamente le qp e le ip. Ne segue che essa, fuori dei punti 

 fissi eventuali comuni alle qp o alle ^), sega su C un gruppo appartenente alla somma 

 delle due serie che contengono rispettivamente i gruppi omologhi dei punti di C 

 nella corrispondenza T e nella T~\ 



Ma i punti comuni alla {xi X2 x^\xi X2 Xs) = 0, e alla C, fuori dei punti fissi 

 suddetti; sono punti uniti per la T, dunque il gruppo U di questi punti è equiva- 

 lente alla somma dei gruppi X e Y che contengono gli omologhi del punto a nella 

 jT"' e nella T; ossia in simboli: 



U= Z+ Y. 



7. Esistenza sopra ogni curva di corrispondenze aventi una valenza data. — In- 

 versa di una corrispondenza a valenza. — Se sulla curva C si considera una g\ e di 

 un punto a variabile su C si chiamano omologhi i punti che insieme ad esso danno 

 un gruppo della g\, si ha, secondo le definizioni poste, una corrispondenza involu- 

 toria a valenza 1, che per brevità chiameremo una corrispondenza elementare (a valenza). 



Facendo la somma di t{>0) corrispondenze elementari, si ottiene una corri- 

 spondenza a valenza Y; e facendo il prodotto di una tal corrispondenza con una cor- 

 rispondenza elementare, si ha una corrispondenza a valenza — T (n° 5). Infine se si 

 fa la somma di una corrispondenza a valenza t con una a valenza — t, si ottiene 

 una corrispondenza a valenza zero. Dunque: 



Sopra ogni curva esistono corrispondenze a valenza arbitraria (positiva, negativa 

 mdla). 



Dimostriamo inoltre che: 



Se una corrispondenza ha valenza, la sua inversa ha la stessa valenza. 



E evidente anzitutto che l'inversa della corrispondenza S, somma di A;(> 0) 

 corrispondenze elementari, ha la valenza k, e che la inversa del prodotto di S per 

 una corrispondenza elementare ha la valenza — k (ved. le (1)). Ciò posto sia T una 

 qualunque corrispondenza a valenza t (positiva o negativa) e sieno X, X' i gruppi 

 degli omologhi di a, a' nella 



Componiamo per mezzo di corrispondenze elementari, una corrispondenza a 

 valenza — t, e diciamo Xj, i gruppi degli omologhi di a, a' nella Tf^ Poiché 

 la somma T ■■\- Tj ha la valenza zero, anche la corrispondenza {T-\- Tj)'^=Tr^-\- 

 avrà la valenza nulla (n° 6), e quindi accanto alla: 



Xi — T« = X/ — T«', 



