SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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5. Operazioni sulle corrispondenze a valenza. — Dimostriamo che: 



La somma di due corrispondenze a valenze Ti, T2, ha la valenza Ti + T2- 



Sieno 2\ le due corrispondenze, Fi , F/ i gruppi di punti omologhi di a, a' 



nella 1\, Y^, Y2 i gruppi degli omologhi di a, a' nella Tg- In base alla definizione, 



avremo : 



Fi 4-Tia= iV + Tia' 

 Fa + T2« = F2' -|-T2«', 



donde sommando si trae: 



(Fi + F2) + (Ti + T2)a = (F/ + F2') + (Ti + T2)«' C. d. d. 



Il prodotto di due corrispondenze a valenze Ti, T2, ^« valenza — Ti T2- 

 Continuando ad usare le notazioni di prima diciamo ... i punti del gruppo 

 Yi, y' i...yiì' quelli di Fi', e F»., F'j, i gruppi degli omologhi di «/,, nella T'a- 

 verrà allora: 



Fii-Ti«= Fi' + Ti«' 



F3. + T2y.^ F'2. + T2//.' (j=l,...,P). 



Da queste si traggono le relazioni: 



T2 Fi + Ti T2« = T2 Fi' + Ti T2a' 



If,. + T2 Fi^lF'e.. + T2Fi'. 

 t=i 1=1 



Sottraendo la l'' dalla 2'', avremo, come si voleva: 

 ^ Fj, — Ti T2 a = 2: F'2, — Ti T2 



6. Determinazione del gruppo dei punti uniti nelle corrispondenze a valenza zero. — 

 Sia T una corrispondenza a valenza zero: variando a su C il gruppo F dei P punti y 

 omologhi di a, varia in tal caso in una serie lineare d'ordine 3. 



Supponiamo che la curva C, dotata soltanto di nodi, sia piana e che la serie 

 lineare completa (/^ che contiene i gruppi F, sia segata da un sistema lineare Z di 

 curve 9 (</i </2 2/3) = di un certo ordine w', passanti eventualmente per un gruppo Q 

 di punti fissi (dei quali alcuni tutti posson cadere su C). Senza introdurre restri- 

 zioni si può supporre che Z sia r volte esteso, ossia che per un gruppo della passi 

 una sola qp. 



I gruppi F saranno segati da un sistema algebrico oo^ di curve qp, e poiché ad 

 ogni punto di C risponde una sola (p di quel sistema ooi, i coefficienti di questa 

 saranno funzioni razionali del punto scorrente su C. Sicché l'equazione di una qp del 

 sistema 00 1 si potrà scrivere sotto la forma: 



(xi «2 I yi y.2 ys) = 0, 



ove O è il simbolo di un polinomio omogeneo di grado m nelle x, e omogeneo di 

 grado m' nelle y. 



Serie 11. Tomo LIV. B 



