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FRANCESCO SEVERI 



a quei simboli. Questo modo di dire, mentre servirà ad abbreviare il linguaggio in 

 un modo espressivo, non potrà dar luogo ad ambiguità. 



Dalla definizione si trae subito come sia lecito moltiplicare i due membri della (2) 

 per un intero qualsiasi (positivo o negativo), e come avendosi due relazioni del 

 tipo (2), si possano sommare o sottran-e membro a membro. 



§ 2. — Corrispondenze a valenza. 



4. Concetto di valenza. — Sia T una corrispondenza fra i punti di una curva C, 

 e sia Y il gruppo dei P punti ij omologhi di a nella T. In generale al variare di a 

 il gruppo Y non varia in una serie lineare d'ordine P ; tuttavia può avvenire che 

 il gruppo F-)-T«, ove t è un intero positivo o negativo o nullo, varii in una serie 

 lineare d'ordine P + T- Si dii'à allora che la corrispondenza ha la valenza j. 



Nel caso in cui t sia negativo può darsi che il simbolo Y-\-ja non rappre- 

 senti un effettivo gruppo di punti ; ma ad ogni modo anche in tal caso noi sappiamo 

 quale senso deve attribuirsi alla definizione precedente (n'^' 3). 



Sotto forma diversa si può dire che T ha la valenza t, ove t è un intero posi- 

 tivo negativo o nullo, se denotando con Y, Y' i gruppi di punti omologhi nella T 

 di due punti qualsiansi a, a' di C, sempre si ha: 



r+Ta= r' + T«' (*). 



Se la curva C non è razionale, la corrispondenza 3' non potrà ammettere una 

 seconda valenza (diversa da t)- Supponiamo infatti che la T possegga un'altra va- 

 lenza t'. Allora avremo: 



Y-\~f'a= F'-f t'«', 

 che sottratta dalla precedente, dà: 



(t — t')« = (t — t')»', 



ossia: 



ka = ka', 



ove ^ è un intero positivo (non nullo). 



La serie lineare gl, che contiene tutti i gruppi ka non sarà certo composta con 

 un'involuzione, sicché potrà immaginarsi segata sopra una curva f di ordine k, dagli 

 iperpiani del suo spazio S^. — Poiché un iperpiano osculatore alla T in un punto 

 generico, ha con essa contatto r-punto, risulterà k = r, e la T sarà una curva razio- 

 nale (normale). 



Dunque è vero che sopra ima curva di genere > una corrispondenza non può 

 avere due diverse valenze. 



(*) L'identità di questa definizione con quella trascendente di Hdrwitz, risulta subito dal teo- 

 reìna di Abel. Ved. ad es. Scorza, Sopra le corrispondenze (p, p) esistenti sulle curve di genere p a 

 moduli generali (Atti della R. Acc. di Torino t. 35, 1900); n° 1. 



