SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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Il prodotto non gode generalmente della proprietà commutativa, ma gode dell'as- 

 sociativa e della proprietà distributiva rispetto alla somma. 

 Sono evidenti le relazioni : 



(1) (Ti + T,)-' = Tr' + Tf\ {T, 7\)-' ^ Tf' T,"'. 



In particolare l'inversa della corrispondenza 2 Tj, che si ottiene chiamando omo- 

 loghi del punto a i punti che gli corrispondono in Ti, ciascuno contato due volte, 

 è uguale al doppio della inversa, ecc. 



3. Notazioni. — Passiamo ora a spiegare alcune notazioni, delle quali avremo 

 occasione di servirci. 

 La scrittura 



A = B, 



ove A, B son gruppi di n punti sulla curva C, denoterà, secondo l'uso, che i due 

 gruppi sono equivalenti, cioè che appartengono ad una stessa serie lineare di ordine // ; 

 la scrittura X^, ove \ è un intero positivo, rappresenterà il gruppo dei punti che 

 si ottiene contando \ volte ciascun punto di A. 



Se Al Ai Bi Bi ... son gruppi di punti, il significato della relazione 



(2) K Al + \, A, + ... ^^iBi + B, + ... , 



ove X, n son interi positivi o negativi, risulta senz'altro se son possibili le eventuali 

 sottrazioni indicate in ciascuno de' suoi membri; ma possiamo in ogni caso dare un 

 senso alla (2), intendendo ch'essa equivalga alla relazione che da essa si ottiene 

 trasportando da un membro all'altro i termini negativi e cambiandoli di segno. 



Si può presentare questa convenzione sotto un altro aspetto, che giova spesso 

 aver pi-esente. Denotiamo con L il gruppo di punti rappresentato dairinsieme dei 

 termini positivi nel 1° membro della (2), e con L' il gruppo che vien rappresentato 

 dall'insieme dei termini negativi, presi col segno cambiato; 31, M' abbiano signifi- 

 cati analoghi rispetto al 2° membro. Siene infine Li Mi due gruppi equivalenti che 

 contengano rispettivamente i gruppi L' 31' ; allora diremo che sussiste la (2), se: 



(3) L + {Li-L'}^3f+{3Ii-3I'). 



Questa definizione è legittima perchè la (3) resta soddisfatta allorché al posto 

 di Li 3Ii si pongano due altri gruppi soddisfacenti alle stesse condizioni. L'identità 

 della definizione medesima con quella data prima è evidente. 



Talora per esprimere la (2) diremo che i gruppi (virtuali) 



K Al -\-\.2^2-\- -, Ml^^l + M2-B2-|-..., 



sono equivalenti od anche che appartengono ad una stessa serie lineare, per quanto, 

 se le \, n non son tutte positive, non sempre esistano gruppi effettivi corrispondenti 



