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FRANCESCO SEVERI 



la quale si ottiene applicando le operazioni della T, dopo di avere scambiato l'uf- 

 ficio delle due curve. Così se la T è definita dalle relazioni: 



?/ = qp {x), X = cp-^ (i/), 



ove qp è il simbolo d'una certa funzione algebrica a P valori, e (p~^ il simbolo della 

 funzione algebrica ad a valori inversa di qp, la sarà definita dalle relazioni: 



« = qP(//), i/ = fP"'(^)- 



Nel caso che stiamo considerando, invece di parlare di due curve coincidenti, 

 si parla spesso di una sola curva e di corrispondenze algebriche su questa; e la cor- 

 rispondenza diretta e la sua inversa si riguardano come due operazioni, l'una inversa 

 dell'altra, applicate ad una medesima classe di punti. Per esser conseguenti a questo 

 modo di considerare la cosa, indicheremo con a un punto generico della classe, e 

 rispettivamente con «/, x i punti omologhi di a nella coiTispondenza diretta e nel- 

 l'inversa; ossia porremo: 



?/ = q? (aj, X = cp-' («). 



Una corrispondenza fra i punti di una curva si dirà simmetrica^ quando gli omo- 

 loghi di un punto qualsiasi a nella corrispondenza diretta coincidono cogli omologhi 

 dello stesso punto nell'inversa, ossia, in simboli, quando: 



cp(a) = qp '(rt). 



Le involuzioni sono particolari corrispondenze simmetriche. 



La corrispondenza identica o identità e quella che si ottiene chiamando omologo 

 di ogni punto, il punto stesso. 



Una corrispondenza data sopra una curva dicesi degenere, se esiste qualche punto 

 (singolare) al quale corrispondano tutti i punti della curva. 



Noi di solito considereremo corrispondenze (non degeneri) tali che fra i punti y 

 omologhi del punto a, non ve ne sia generalmente nessuno coincidente con a, e che 

 al variare di a mutino tutti gli y. In queste corrispondenze, per la natura stessa 

 della loro definizione, non potrà aversi che un numero finito di punti uniti, cioè di 

 punti coincidenti coi loro omologhi. 



Oltre agli indici, vi sono anche altri caratteri spettanti ad una corrispondenza, 

 ma di questi altri ci occuperemo in seguito. 



2. Operazioni sulle corrispondenze. — Diremo somma di due corrispondenze Ti, T^, 

 la corrispondenza -\- T2 che si ottiene chiamando omologhi di ogni punto a i cor- 

 rispondenti nella e i corrispondenti nella T^. 



La somma gode delle proprietà commutativa e associativa. 



Diremo prodotto di Ti, T2, la corrispondenza che si ottiene applicando a ciascuno 

 degli omologhi di a nella Ti, le operazioni di T2, e facendo corrispondere ad a i 

 punti così ottenuti. Questa corrispondenza prodotto s'indicherà col simbolo T^ Ti , 

 mettendo a destra il simbolo della prima operazione applicata ad a. 



