SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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Terminerò con alcune indicazioni bibliografiche sulla teoria delle superficie che 

 rappresentano le coppie di punti di una o due curve. 



Le superficie che nascono dalle coppie (non ordinate) dei punti di una curva 

 ellittica (rigate ellittiche) furono considerate da Segre (*), quelle che rappresen- 

 tano le coppie dei punti di una curva del genere 2 (superficie iperellittiche) da 

 Picard (**), che le incontrò nella ricerca delle superficie che ammettono un gruppo 

 permutabile di trasformazioni birazionali, e successivamente da Humbert, che ne fece 

 uno studio esauriente (***). 



Lo studio delle superficie che rappresentano le coppie di punti di due curve 

 distinte o le coppie di punti di una curva di genere maggiore di due, è stato ini- 

 ziato recentemente (^). 



PARTE PRIMA 

 Le corrispondenze sopra una curva algebrica. 



§ 1. — Generalità. 



1. Concetto di corrifipondenza. — Consideriamo due curve algebriche C, C e in- 

 dichiamo con X un punto qualunque di C, e con // un punto qualunque di C Se il 

 punto y di C e funziono algebrica a S valori del punto x di C, sarà x funzione alge- 

 brica a un certo numero a di valori, del punto y variabile su G', e si dirà che fra 

 C, C passa una corrispondenza algebrica di indici (a, p). 



Ogni corrispondenza algebrica fra due curve, in quanto può riguardarsi come 

 un ente oo^ entro alla varietà oo^ delle coppie di punti delle due curve, si può defi- 

 nire considerando le coppie di quei punti le cui coordinate soddisfano contempora- 

 neamente a due equazioni (aU'infuori, eventualmente, di un numero finito di coppie 

 estranee) {'^). 



Allorquando le due curve C, C coincidono, ogni corrispondenza T di indici (a, p) 

 fra C, C, dà luogo ad una corrispondenza di indici (p, a), detta Vinvej-sa della T, 



funzioni ellittiche a moltiplicazione complessa (la cui origine risale ad Abel), per opera specialmente 

 di Kronecker C Berlin., Monatsber. 1866), Weber (" Annali di Mat. , (2), t. 9, 1878) e Fbobenius 

 C Creile „, Bd. 95, 1883). Le funzioni abeliane del genere 2 a moltiplicazione complessa, furono stu- 

 diate da Wiltheiss (" Math. Annalen Bd. 26, 1886) e recentemente da Humbert (" Comptes-rendus 

 t. 13-1, 1902; e ' Journal de Math. (5), t. 9, 1903). 



(*) • Atti della R. Acc. di Torino t. 21 (1886). 



(*•) " Journal de Math. „ (4\ t. I (1885) e t. 5 (1889). 



(***) ' Journal de Math. „ (4), t. 9 (1893). 



(■^) Cfr. Maroni, Sulle superfìcie algebriche possedenti due fasci di curve algebriche unisecantisi. 

 " Atti della R. Accad. di Torino t. 38 (1903); De-Fraschis, Sulle varietà oo^ delle coppie di punti 

 di due curve o di una curva algebrica. " Rendiconti di Palermo „, t. 17 (1903); e la mia Nota, Sulle 

 superficie che rappresentano le coppie di punti di una curva algebrica. " Atti della R. Accad. di Torino 

 t. 38 (1903). 



\^) Ved. ad esempio la citata Introduzione di Segre (n" 6). 



