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FRANCESCO SEVERI 



denze indipendenti, cosicché fissatene alcune, tutte le altre risultano dipendenti da 

 quelle. In particolare sopra le curve a moduli generali, tutte le corrispondenze sono 

 dipendenti dall'identità. 



Giacché l'esistenza di un numero finito di corrispondenze indipendenti è una 

 proprietà di natura cosi profonda, che sembra assai arduo dimostrarla senza far uso 

 di strumenti trascendenti, al n° 11 riallaccio il concetto di dipendenza fra corrispon- 

 denze, con le considerazioni svolte da Hurwitz al § 13 della sua Memoria, e cosi 

 ottengo la dimostrazione della proprietà stessa. 



Nella seconda parte del lavoro mi occupo delle curve tracciate sopra una super- 

 ficie F con due fasci unisecantisi (superficie delle coppie di punti di due curve C, C), 

 e sopra una superficie <I> con un sistema algebrico coi I, d'indice 2 e grado 1 (super- 

 ficie delle coppie — non ordinate — dei punti di una curva C). 



Si presenta spontaneo il legame fra la teoria delle curve appartenenti a queste 

 superficie e la teoria delle corrispondenze, perché ogni curva di F rappresenta le 

 coppie dei punti omologhi in una determinata corrispondenza fra C, C ; ed ogni curva 

 di rappresenta le coppie dei punti omologhi in una corrispondenza simmetrica 

 sopra la curva C. 



Profittando del fatto che sopra una curva c'è un numero finito di corrispondenze 

 indipendenti, si perviene a dimostrare che sulla superfìcie F ogni curva si ottiene con 

 le operazioni di somma e sottrazione, a partire da un numero finito di curve {base) e 

 da quelle dei due fasci unisecantisi. 



Analogamente sulla <P ima curva qualunque si ottiene da un numero finito di curve 

 {base) e da quelle del sistema Z (*). 



Queste proposizioni offrono il mezzo di dimostrare il teorema di Bézout sulle 

 superficie F e 0, ossia di calcolare il numero dei punti comuni a due curve, mediante 

 i caratteri di ciascuna di esse. 



In particolare se i due fasci di F sono razionalmente identici ed a moduli ge- 

 nerali, ogni curva si compone a partire dalle curve dei due fasci e da una curva 

 unisecante le precedenti; e similmente ogni curva di O, se il sistema Zea moduli 

 generali, si ottiene dalle curve di questo e dal loro inviluppo. 



Quando i moduli dei due fasci ,di F, o del sistema I di 0, soddisfano a particolari 

 relazioni, per determinare effettivamente la base di tutte le curve appartenenti ad 

 i*" 0, occorre un esame appropriato ad ognuno dei casi possibili. 



Per dare un esempio di questi casi singolari, nell'ultimo § di questa Memoria, 

 mi occupo delle superficie che nascono dalle coppie (ordinate o non) dei punti di 

 una curva ellittica a modulo arbitrario. La determinazione effettiva della base su 

 queste superficie, nei casi singolari, si fa ricorrendo alla teoria delle funzioni ellit- 

 tiche a moltiplicazione complessa. 



Nella trattazione di esempii piìi elevati, si dovrebbe ricorrere alla teoria delle 

 funzioni abeliane a moltiplicazione complessa (**). 



(*) TJu teorema analogo si conosce sulle superficie razionali, sulle superficie generali nel loro 

 ordine e sulla superficie di Kummer, come \)m tardi avremo occasione di notare. 



(**) Questa teoria che ha così intimi legami con quella delle corrispondenze singolari sopra una 

 curva algebrica, non ha ancora raggiunto un maturo sviluppo. Essa è sorta dopo la teoria delle 



