SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



3 



di un numero finito di altre corrispondenze convenientemente scelte; e da ciò trae 

 il principio generale di corrispondenza (*). 



Allorquando mi proposi lo studio delle corrispondenze sopra una curva, più che 

 della determinazione del numero delle coincidenze, mi preoccupavo di cercare il con- 

 tenuto geometrico del principio di corrispondenza, caratterizzando la funzione razio- 

 nale (serie lineare) individuata dal gruppo dei punti uniti. 



Pensavo invero che ciò sarebbe stato assai utile nelle questioni in cui l'alge- 

 bricità entra non solo per ciò che concerne il numero delle soluzioni comuni a più 

 equazioni, ma anche per le loro proprietà intrinseche. 



Poiché la i-appresentazione delle corrispondenze mediante le serie 0, permette 

 di stabilire tutte le loro proprietà funzionali, io avrei potuto limitarmi ad una inter- 

 pretazione geometrica di queste proprietà. Tuttavia mi è parso utile di ricostruire 

 dagli inizii la teoria, prendendo le mosse dalle cori-ispondenze a valenza. 



Darò qui un cenno della via seguita in questo studio. Dopo aver definito una 

 corrispondenza a valenza positiva t, come quella che gode della proprietà che i 

 punti ìf omologhi di un punto variabile x, insieme a questo contato t volte, formano 

 un gruppo variabile in una serie lineare; e dopo aver caratterizzato geometricamente 

 il gruppo dei punti uniti in una corrispondenza a valenza zero (n° 6), operando per 

 somma e prodotto (n° 2) sulle corrispondenze a valenza zero e sulle involuzioni lineari, 

 per le quali è nota la maniera di comporre il gruppo dei punti uniti (**), pervengo 

 in un modo semplicissimo al teorema: 



Il gruppo dei punti uniti in una corrispondenza a valenza f, appaigliene alla serie 

 lineare somma di t gruppi canonici, e delle serie che contengono il punto x contato 

 T volte ed i suoi omologhi, nella corrispondenza diretta e nell'inversa (n° 8). 



Qui mi son limitato alle corrispondenze a valenza positiva; ma avverto subito 

 che le medesime cose si posson ripetere con le stesse parole per quelle a valenza 

 negativa, dopo aver precisato in ogni caso con opportune convenzioni (n° 3), in che 

 consista l'operazione di sottrarre un punto. 



Se una corrispondenza è a valenza, questa sua proprietà si può interpretare 

 come una speciale relazione di dipendenza fra essa e la corrispondenza identica. Par- 

 tendomi da questo concetto, al n° 9 estendo la nozione di valenza, introducendo 

 quella di corrispondenze fra loro dipendenti, e trovo quindi per via geometrica la 

 relazione funzionale fra i gruppi dei loro punti uniti (n° 10). La traduzione aritme- 

 tica di questa relazione dà luogo al principio generale di corrispondenza. 



Ciò dipende dal fatto che sopra ogni curva vi è un numero finito di corrispon- 



(') Per un'esposizione dei principali resultati contenuti nella Memoria di Hui-witz, ved. Klein- 

 Fricke, Vorlesungen iiber die Theorie der elliptischen Modid-Functionen, Bd. 2, p. 518; Leipzig (1892), 

 ove trovasi anche uno studio delle corrispondenze modulari; e Baker, Ahel's theorem and the allied 

 theory, ecc., png. 639; Cambridge (1897). 



Le corrispondenze a valenza negativa son pure considerate nella Memoria citata di Zeuthek, 

 il quale definisce la valenza mediante la formola che dà il numero dei punti uniti. Questa defini- 

 zione è legittima solo per le corrispondenze sopra le curve a moduli generali, allo studio delle 

 quali si limita l'Autore. 



(**) Il gruppo dei punti doppi di una g\ è notoriamente equivalente ad un gruppo canonico 

 aumentato di un gruppo della serie 2gn . 



