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FRANCESCO SEVERI 



il quale pervenne algebricamente al numero delle coincidenze di una corrispondenza 

 rappresentata da una sola equazione (*). 



Per questa classe di corrispondenze il Brill introdusse la valenza (positiva), che 

 insieme agli indici figura nella espressione del numero dei punti uniti, e ne precisò 

 il significato algebrico. 



Altre dimostrazioni algebrico-geometriche furono date da Junker (**) e da 

 BoBEK (***), una dimostrazione col metodo iperspaziale da Segre ("*"), una dimostrazione 

 numerativa da Schubert (''""'") e un'altra dimostrazione numerativa da Zeuthen {^), 

 che si occupò piìi specialmente dei modi di valutare le molteplicità delle coincidenze, 

 di uno dei quali aveva già trattato in un lavoro anteriore (''''). 



Noterò infine la dimostrazione data da Lindemann con l'aiuto degl' integrali 

 abeliani C"*"*"*"^) e quella che si legge sulle Legons sur la Géometrie di Clebsch- 

 Lindemann (■*~'"^"^). 



Ma una Memoria, cronologicamente anteriore a qualcuna di quelle già citate, e 

 che portò un nuovo contributo essenziale allo svolgimento della teoria in discorso, 

 è quella, ormai classica, di Hurwitz ('''''''). 



In questo lavoro l'Autore, assurgendo dal problema di calcolare il numero dei 

 punti uniti di una corrispondenza, ad un problema assai piìi elevato, si propone di 

 determinare tutte le corrispondenze esistenti sopra una curva^ e di studiare le loro 

 proprietà intrinseche. 



Dopo aver dato la rappresentazione di una corrispondenza algebrica col mezzo 

 degli integrali abeliani, dimostra che sulle curve a moduli generali si presentano 

 soltanto corrispondenze a vahìiza positiva o negativa, ciascuna delle quali si può defi- 

 nire mediante gli zeri e i poli di una determinata funzione razionale di due punti 

 della curva; e dà la formola di corrispondenza ad esse relativa. 



Passando alle corrispondenze sopra una curva a moduli qualunque, stabilisce 

 anzitutto che quando i moduli soddisfano a particolari relazioni, esistono sulla curva 

 corrispondenze prive di valenza {singolari) ; e mostra come ogni corrispondenza si 

 possa rappresentare uguagliando a zero una funzione di due punti della curva, for- 

 mata mediante le trascendenti 0. Infine prova che l'equazione di una corrispondenza 

 fra i punti di una curva qualunque, si può comporre (per moltiplicazione) da quelle 



(*) Ricordiamo qui che una corrispondenza qualunque fra i punti di una curva si può sempre 

 rappresentare con due equazioni. 



(**) Inaugural-Dissei-tation, Tubingen (1889). 



(*"*) " Sitzungsberichte der Wiener Akademie t. 93, p. 899. 



("^) ] ntroduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito, " Annali di Mat. „, 

 (2), t. 22, § 12 (1894). 



(++) Kalkill der dbzahlenden Geometrie, § 18. Leipzig (1879). 



(+-H-) Nouvelle démonstration du principe de correspondance de Cayley et Brill, ecc. " Math. Annaien 

 Bd. 40, p. 99 (1892). In questa Memoria si trovano molte delle indicazioni storiche che vado esponendo. 

 (++++) « Bulletiu de Darboux „, t. 5, p. 186 (1873). 

 (-H-t+f) « Creile t. 84, p. 301 (1878) (Lettre adressée à M. Hermite). 



(-H-++++) Trad. par Benoist, t. II, p. 146; Paris, Gauthier-Villars (1880). Il punto essenziale della 

 dimostrazione è ivi sostituito da considerazioni intuitive di limite. 



(''''•'') Ueber algehraische Correspondenzen itnd das verallgemeinerte Correspondenzprincip. " Math. 

 Annaien „, Bd. 28, p. 561 (1886). Ved. anche l'altra Memoria Ueber diejenigen algebraischen Gebilde, 

 welche eindeutige Transfer mationen in sich zulassen. " Math. Annaien Bd. 31, p. 290 (1888). 



