27 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 77 



Un sistema di integrali indipendenti della prima equazione è, ove si indichino 

 con Mi,?<2i":} delle costanti arbitrarie: 



(12) a = u,, n = «2, Ee-"'—2t = u.,. 



Ora, poiché il sistema intejjrale delle (11) deve dipendere soltanto da ?<i,?/2, M3, 

 dovremo supporre nella seconda equazione f funzione di queste variabili, per cui 

 essa si scriverà: 



d 



ossia : 



Òf ÒMl _|_ ^ d«2 1 ÒU, . 1 .g / Òf dUj I ?lf dUj . df ÒU3 \ _ ^ 



)m, ~'~ ')«. Òr) ' 'r>n '2 Um, d< ' dwj dt duj dt j ~ 



d"3 di/;, 



che ammette come integrali: 



Mj = cost, M3 -|- j/oe'" = cost , 



ossia per le (12): 



ar=cost — 2^ + Se-'a4- ne'"= cost. 



L'integrale generale del sistema (11) sarà dunque: 



F{a, — 2t + £e-'"4- Tie'°) = 



con F designando una funzione arbitraria. 



Questa equazione, introdotte le variabili x,ij ed indicando con qp una nuova 

 funzione arbitraria, potrà scriversi: 



(13) arcosa -I- //sena — ^ — cp(a) = 0. 



Concludendo possiamo dire, che quando si sia determinata una funzione a delle 

 variabili x,y,t, che soddisfi a questa equazione, due integrali indipendenti pi=cost, 

 P2 = cost dell'equazione (3), o dell'equivalente in variabili i.r]: 



ci rappresenteranno le linee coordinate , dai cui parametri dipendono le vibrazioni 

 della lamina. Ora è facile convincersi, che: 



a = cost, -|^ = cost 



sono due integrali richiesti. 



Per il primo la cosa è immediata, perchè basta tener presente la (7): per il 

 secondo basta derivare questa stessa relazione rispetto a t e usufruire della (fl); si 

 ottiene allora identicamente: 



^ ÒE > ò< ' ^ òn \ òt I ^ òt \ dt I 



