78 



GIULIO BISCONCINI 



28 



Poiché d'altronde a verifica la (13) e l'equazione, che si trae dalla (13) de- 

 rivando rispetto a t, cioè la 



— xsena _4-Ticosa^ — 1 — qp'(a) = , 



così i due sistemi di curve Pi=rcost, P2=cost saranno caratterizzati dalle due 

 equazioni: 



1 a;cospi + ysenpi — cp(Pi) — t — 0, 



(li) 



' ajsenPi — (/cospi -|- cp'(pj) -f- pg = . 



2. — E facile formarsi un'idea dell'andamento delle curve dei due sistemi. 



Le linee pi=cost sono rette, che al variare di t si spostano parallelamente a 

 se stesse e che per uno stesso valore di t inviluppano una curva X''^, le cui equazioni 

 in forma parametrica sono: 



.»cospi-t- ^/senpi — 9(Pi) — ^ = 0, 



— .rsenpi + ?/cosPi — cp'(Pi) =0, 



ovvero : 



( a; = [(p(pi) + ;]cospi— cp'(pi)senpi, 



(15) 



' = [qp(pi) + ^]senpi+ (p'(Pi)cospi. 



Al variare di t si hanno evidentemente curve parallele fra loro, i cui punti cor- 

 rispondenti (situati sulla stessa normale) distano di un segmento uguale all'incre- 

 mento di t. 



Il secondo sistema di curve P2 = cost ha quale rappresentazione parametrica le 

 equazioni (14) equivalenti alle: 



, x=[(p (pi) + t] cos Pi — [(p'(pi) f - P2] sen Pi , 



(16) 



f /y = [cp (pi) -f- 1] sen Pi + [cp'(pi) 4- P2] cos'Pi , 



od anche, indicando con Xq, ì/q le coordinate dell'inviluppo (15): 



X = Xo — Pasenpi , 

 = yo+ P2COSP1 , 



le quali ci mostrano, che ogni curva del secondo sistema corrispondente ad un dato 

 valore di t si ottiene dalla curva X"' portando sulle tangenti di questa a partire dal 

 loro punto di contatto e in una determinata direzione uno stesso segmento p2. 



E ovvio allora, come da una curva p^" corrispondente a un istante t, si ottenga 

 la curva p^''' corrispondente a un istante successivo t'. Per i punti di Pa' basterà tirare 

 delle rette normali alle rette p'/' passanti per essi , e portare sulle loro direzioni 

 positive a partire dai punti di p^'^ dei segmenti uguali all'incremento t' — t del tempo; 

 il luogo di questi punti è la curva py*. 



