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UMBERTO PERAZZO 



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a comune. Ritenendo nei due triangoli cosi determinati omologhe sempre le coppie 

 di vertici AA', BB', CC, potrà ottenersi ancora da essi la configurazione degli otto 

 piani della F, collo stesso procedimento sopra enunciato (n" 16). 



18. — Le 00^ rette del sistema (022)i determinano fra i due piani Oj, 02 una 

 corrispondenza biunivoca, omologhi essendo i punti Pi, P2 intersezioni dei piani 01,0-2 

 con ogni retta del sistema. Descrivendo il punto Pi una retta r in a^, l'omologo P2 

 descriverà in 02 una conica, poiché le oo-' rette incidenti ad una retta rea due S^l.-^, Z2. 

 costituiscono un cono quadrico di 2* specie. La trasformazione definita dal sistema (022)i 

 tra i due piani a^, a.^ e pertanto quadratica (*). 



Poiché da ciascuno dei sei punti A,B,C, A',B',C' esce un fascio di rette del 

 sistema (022)i, i due ti'iangoli ABC, A'B'C saranno i triangoli fondamentali della 

 trasformazione. (E precisamente: ad A sarà omologa la B'C, ecc. (n" 16)). 



19. — Viceversa: Suppongasi stabilita fra due piani «i, 02 — non in uno stesso 

 — una corrispondenza quadratica generale: Ne siano ABC, A'B'C i triangoli fonda- 

 mentali. E noto che si possono riferire proiettivamente fra loro ad es. i due fasci 

 (A), {A'), ed i fasci (B), {B') in guisa che ad ogni punto Pi di Oj corrisponda, nella 

 data corrispondenza quadi-atica, quel punto di che è comune ai due raggi omo- 

 loghi ad ^Pi e PPi nelle date proiettività. Pongasi per brevità: «i = ^4Pi, «2 = A' 



bi = BPi, Ò2 == B'P^. L'SsUiU^ descrive — variando la coppia di raggi omologhi «i, «2 — 

 un sistema di S3 generatori di un cono quadrico di 2''' specie, di cui è sostegno la AA' . 

 Analogamente dicasi per F/Ss^ièa- 



Le rette incidenti ad ogni coppia di raggi «i, «2 giacendo negli generatori del 

 1° sistema si appoggieranno agli del 2° sistema. Ed analogamente pel cono {BB'). 

 Le congiungenti coppie di punti omologhi: Pi = «i^i, P2 = «2^2 si appoggieranno 

 pertanto agli 6^3 generatori del 2° sistema tanto nell'uno che nell'altro cono. Rias- 

 sumendo: Le conginngenti coppie di punti omologhi in xma data corrispondenza qua- 

 dratica [generale) fra due piani che non si incontrino, si possono — ed in modi — 

 riguardare come le rette che si appoggiano a quei due piani e a due S3. 



20. — La nostra varietà F apparterrà a tre coni quadrici di 2^ specie, di cui 

 sono sostegni le tre rette AA', BB', CC. I tre coni appartengono ad uno stesso 

 fascio di forme quadratiche (di cui è base la i¥| F). E si avrà: In un S5 le oo^ rette 

 incidenti a due piani e a due S3 incidono di conseguenza ad coi g^ . costituenti tre si- 

 stemi di S3 generatori di coni quadrici di seconda specie. 



■ 21. — Altri sistemi oo^ di rette contenuti nella P dedurremo, considerando 

 questa come intersezione di due fra i coni {AA'), {BB'), {CC). 



(") Ciò discende altresì dall'osservazione seguente : È noto che una forma quadratica nell'S'j può 

 ritenei-si generata dal " sistema delle cc^ rette che congiungono coppie di punti reciproci in una 

 reciprocità fra due piani „ (e dualmente). La F e comune a due (e quindi ad un fascio) di aventi 

 a comune due piani: le oo'^ generatrici della F determineranno quindi tra Oi, a, una corrispondenza 

 nella quale " coppie di punti omologhi sono reciproci in due (e quindi in un fascio) di reciprocità 

 fra i piani a^, aj , : pertanto una corrispondenza quadratica. 



