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SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZtl OKOINAUII, ECC. 



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fascio determinato dai due coni saranno dunque " coni cubici dotati di doppio „ (*). 

 E poiché in ognuno di essi gli ooi^j generatori incidono, secondo rette pel vertice, 

 ad oc^ piani direttori (**) e i piani della /''giacciono in quegli S^: I piani generatori 

 della F si appo(/tjiano ad cc'^ piani. Poiché un 6'i : ui condotto per Z contiene, fuori 

 di I, un solo piano della 7^ (comune ai due che dalla congiungente i punti i?i —r^w, 

 B2 = r2M proiettano le rette = Oiiu, a2 = a2^)'- gli '^^ piani della i*' secheranno Z 

 secondo lo generatrici di una rigata del 4° ordine. La retta r = TTigZ è direttrice 

 semplice della rigata. Il luogo dei vortici degli ooi coni cubici contenenti la F è una 

 cubica sghemba C appartenente all'^gZ, come facilmente si deduce per via anali- 

 tica (***). Dai suoi punti (p. es. dal punto aiZ o dal punto agZ) escono coppie di piani 

 della F, e quindi coppie di generatrici della rigata. La cubica C è pertanto direttrice 

 doppia della rigata e linea doppia altresì per la F. 



{131)2: Ci limitiamo qui ad osservare, poiché ci sarà utile in seguito, che per la 

 forma (131)2 " degli 00- piani che si appoggiano a tre piani: Oi, Og, ed incidono a una 

 retta : r e ad un : Z „ è triplo l'S^I.. Invero : un S.^ : w, uscente da Z, seca ulte- 

 riormente la forma secondo il (solo) cono quadrico di cui son piani direttori Bai, 

 Ra-i, Ra^ (ove si sia posto: R = riu, a^ sa a.uj). — Si potrebbe ora dedurre — variando ai 

 nel fascio (Z) — l'esistenza di un secondo sistema 002 di piani nella forma (direttori 

 dei coni quadrici di cui sopra), ecc. La r è doppia per la forma. 



33. — (XV) (330^2 = (033)2 = 6 : Ordine della forma (280)2 e delle M3 (320)2, (023)2. 



(320)2 = (023)2 : I due sistemi (320)2, (023)2 hanno definizioni fra loro duali e 

 coincidenti. Siene r2, r^ ; a^, 02 risp. le rette ed i piani direttori di un sistema (320)2. 



Un S4 uscente da uno dei tre S.^ TI 12 ^ ^13 = ^'i^'s» ^23 = ''a^'a contiene, come 

 facilmente si verifica, due piani del sistema (320)2. Dualmente : dai punti di ciascuna 

 delle ri, 7-2, /'a escono coppie di piani del sistema, non giacenti colle ri, r2, r^ risp. in uno 

 stesso Si (anzi in uno stesso S^): Le rette ri, r2, r^ sono pertanto doppie per la F (****). 

 La F può ritenersi parziale intei'sezione delle due 3/, (v' n° 12): " dei piani che si 

 appoggiano ad ri, r2, rj, a, „ e " dei piani che s'appoggiano ad ri, j"2, r^, a., „. Dalla MI 

 loro completa intersezione si staccano i tre TT12, TT13, ITas : la è quindi del 6° ord. 

 al piii. Dalle cose precedenti poi, e dalla nota (****) si deduce ch'essa è (almeno, e 



(*) Si prova analiticamente in modo immediato che una forma cubica — in un S'5 — dotata 

 di S3 doppio è un cono (veggasi del resto la nota ("*)). 



(**) Ciò si deduce applicando i risultati del n" 52 della Memoria sopra citata alla " forma 

 cubica con piano doppio, intersezione di un variabile cono del fascio con un iperpiano, non passante 

 pel vertice 



(***) Un fascio di forme cubiche nell' aventi un medesimo ^3 doppio Xi = Xf = può rappre- 

 sentarsi coll'equazione: 



(1) {A + \A')xs- + (B + XB')x,x, + (C + XC')x«« = 0, 



ove X e un parametro, e le A, A', ... sono forme lineari delle a:,, a-j, x^. La (1) rappresenta per 

 ogni valore di X un cono di vertice il punto x^ — .rfi = 0, A-}-\A' = Q, B -\-\B' = 0, C -\-\C' = 0. 

 Col variare di X, tale punto descrive la cubica di equazioni parametriche nell'uà X5 = a-6=0: A-\-\A'=0, 

 B + \B' = 0, C-\-XC'=0. 



(**♦*) Le >-,,ri; ri,r3; rj.rj saranno direttrici doppie altresì per le tre rigate risp. secate su TT, 5,17,3,17,3 

 dagli oc' piani del sistema (320^3: le tre rigate risulteranno del IV" ordine almeno, e — per quanto 

 segue — precisamente del 4° ordine. 



