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SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINAKII, ECC. 



IGO 



(Iella M4 con 9 vette doppie, definibile appunto (*) mediante un generico sistema (310)2 

 (senza restrizioni cioè, relative alla posizione del piano k rispetto alle direttrici r^, r^, r.^). 

 Alla F potranno quindi applicarsi — con ovvie modificazioni — varie proprietà rela- 

 tive a quella forma (**). 



45. — (XXIII) (0; 5, 1; 0)2 = 6: Ordine della (0; 4,1; 0)2. 



(0; 4, 1; 0)2: Gli ooi piani incidenti secondo rette ad un piano 3 ed appoggiati 

 a 4 piani a^, a.,, a,, a.j secano sopra ciascuno dei piani a^, ... a,j una curva del ordine 

 (n° 39). Un : IT uscente dal piano aj — ad es. — seca la M^, fuori di Oj, secondo 

 le tre rette traccie sopra TT dei piani incidenti secondo rette al piano (3, all'iSaTT, ed 

 appoggiati ai tre piani a.^, a.,, (n° 38). La è pertanto del 6" ordine. E il piano p 

 è per essa triplo, come facilmente si verifica. 



CAPITOLO II. 

 § 5. 



46. — Abbiansi due spazi di egual dimensione: TT^,, TT„, aventi a comune un .S\ 

 {l> — 1) congiunti cioè da un52„_, :S. Si immagini un -S„ : Z uscente da 5, coin- 

 cidente con S {nl2m — l). Un sistema oc": (A") di S„_„ dello spazio Z tale che 

 da ogni punto P di Z esca un solo spazio del sistema, e che non abbia particolari 

 relazioni con TT„, TT^ determinerà fra questi spazi, nel senso di cui si disse nell'" in- 

 troduzione , una corrispondenza biunivoca (che potrà ritenersi determinata altresì, 

 tra TT e TT', dal sistema 00"' degli S„,_i comuni a S ed agli del sistema {K)). — 

 Come sistemi (K) potranno assumersi nell'S,, particolari sistemi di <S„_„, incidenti a 

 dati spazi, e pei quali valga la proprietà enunciata. Determinando categorie di tali 

 sistemi — per n qualunque {> 2m — l) — potranno ottenersi fra TT„,TT;„ corrispon- 

 denze biunivoche, il cui ordine sarà, in generale, funzione della dimensione n. 



Ci limiteremo a pochi esempi, che ci forniranno corrispondenze biunivoche tra 

 due piani due S3. Supporremo sempre assegnati i due piani od -S3, e gli spazi 

 direttori del sistema da considerarsi, in posizione reciproca affatto generica noir6'„. 



47. — Assumansi due piani tt, tt' e in un S„ che contenga lo spazio tttt' si con- 

 sideri il sistema cc^: {K) degli S„_2 i quali sono incidenti ad un S„_o : Z e si appog- 



(*) Vedi la mia nota cit* al n° 12. — Erasi provato in essa (n° 17) che allorché una forma 

 cubica contiene tre rette doppie ' i.rj, rj, non in un 5», contiene di conseguenza altre 6 rette doppie, ecc. 

 E ciò basandosi sul fatto che quando in un fascio di quadriche la quartica base contiene come parte 

 due rette sghembe deve ulteriormente spezzarsi secondo due rette r, s appoggiate alle prime. Ma 

 queste rette r, s possono coincidere : cioè le quadriche del fascio raccordarsi lungo una tlirettrice 

 comune: in corrispondenza a tale ipotesi le 9 rette doppie si riducono a 6 distinte: distribuite 

 secondo i lati di un triangolo e secondo tre rette uscenti dai vertici di questo (in posizione reci- 

 proca generica), ecc. E la forma cubica assume il tipo ora considerato. 



(**) Assumendo i punti fondamentali delle coordinate in guisa che il piano P venga rappresen- 

 tato dalle: Xi=Xr= X(=0 e le tre rette rj, risp. dalle: x,=t,i=X5=.T6 = 0, x\=x^=tì=x^=Q. 

 xx~ Xì = Xi, = Vi= Q la F verrà rappresentata da un'equazione del tipo: «.a-i-Tja;, -t- t.xjariXo -|- 

 + c.xsx^xs -f- rf.xjXjX, = (essendo a.b,c.d coefficienti arbitrari). 



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