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SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINA RII, ECC. 



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§ 7. 



54. — Si considerino due S, : TT, TT' e in un S„ contenente lo spazio TTTT': il sistema 

 cc^ : (K) degli S„_3 i quali incidono — secondo S„_( — ad un S„_:( : Z assegnato, e si 

 appoggiano ad n — 3 : Oj, a^, a„_,. Da ogni punto P deir»S'„ esce un solo .S'„_3 



del sistema: congiungente P agli n — 3 punti che l'Sn.oPZ seca sopra Oj. a„_3. Se 

 il punto P descrive in TT un piano a, VS„_s del sistema (K) uscente da P descrive 

 " il sistema oo^ degli S„_3 incidenti ad un /S„_3 : Z (secondo S„_t: ciò sottintenderemo 

 in seguito) ed appoggiati ad n — 2 piani: a, Oi, aj, a„_3 „: Tale sistema costituisce 

 una forma F dell'I» — 2)" ordine. Invero: un S„_, : uu uscente da Z seca la F unica- 

 mente secondo la 3/;;z| degli oo^ S„_3 " incidenti in un S„_i ad un S„_3 : Z e ad (n — 2) 

 rette: a = auj. = a^iu, uo = a^,uj, ... a„_3 = a„_3Uj „ (v' n" 47). 



a) L'8„_3Z è multiplo d'ordine n — 8 per la F: poiché è multiplo d'ordine n — 3 

 (n"^ 47 a)) per le oo- J/„_„ sezioni della F cogli iperpiani uscenti da Z. 



b) Appartengono alla F gli ooi S„_2 incidenti a Z, a TT secondo rette, ed ap- 

 poggiati agli n — 3 piani a,, a^, a„_:,. Essi costituiscono una M„-2^, di cui vogliamo 

 ora determinare l'ordine: Escono tali S„_3 dal punto P=TTZ e nella stella {P) inci- 

 dono secondo S„_4 e risp. secondo rette per P, airS„_3 Z ed agli n — 2 Sa : TT, Pai, 

 Pioto, Pa„_3 : Per sezione con un S„_i : uu, generico, daranno luogo " agli cc^ S„_, che 

 in un S„-i (uj) incidono, secondo S„_-^, ad un S„_i (Zq = uuZ) e si appoggiano ad n — 2 

 piani (1x0,00,1, .... ao,„_3) „. L'ordine della J/i,_3 costituita da tali S„_4 in uj. eguaglierà 

 l'ordine della V. 



- Indicheremo con p„_i tale ordine, ed in generale con p„: l'ordine dell'analoga 

 varietà relativa ad un S,„. Un S„_3 condotto in ai per r5„_4 Z,, secherà la 3/„_;ì, fuori 

 di Zo secondo gli n — 3 S„_t incidenti a Zy ed alle n — 2 rette comuni air5„_2 ed 

 agli n — 2 piani tto, Qo.i, .... ao,„_3 (n° 47). D'altra parte da ogni punto P di Zo escono 

 (cfr. il ragionamento di poc'anzi) tanti S„_i della 3/„_:, quanti in un 5„_o sono gli S„_3 

 incidenti, secondo S„_6, ad un S„_^ ed appoggiati a n — 2 piani: cioè in numero di p„_s: 

 L'/S'„_, Zo è quindi multiplo d'ordine p„_2 per la M„_z- E si avrà quindi : p„_,= (^< — 3) -I- 

 + P.I-2 C^). Analogamente: p„_2 = (« — 4) + p„_3 ecc. E poiché fn" 45) è p5 = 6. sarà 



p„_i (ordine della Y) ^ (^^^^'-l^l 



c) Appartiene alla F (cfr. n" 47 c)) la Ji/„_2 : O degli oc- S„_, incidenti al- 

 rS„_3 Z, secondo /S„_3, ed appoggiati ai piani 01,02, ...,a„_3. Un <S„_i:uj uscente da Z seca 

 la 0, fuori di Z, secondo la M'^-l (cfr. n° 52) degli oo^ S„_4 incidenti a Z ed alle rette 

 «1 EE ujOi, = ujOg. a„_3 = a)a„_> D'altra parte, da ogni punto di Z escono tanti S„_t 

 incidenti a Z ed appoggiati ad Oj. a„_3 quanti S„_5 — in un S„_i — incidono ad 



{*) Alla stessa relazione si può giungere pure brevemente come segue (cfr. n° 45) : In ui gli 

 oo^Sn— 4 " incidenti secondo Sn-5 a Zq d appoggiati ai piani tto, Oo.i, ao,n-3 , secano sopra ognuno 

 di tali piani una curva d'ordine n — 3 (v' sopra: determ." dell'ordine della F). Conducasi per uno 

 di essi (iTfl ad es.) un S-s : TT,. L'intersezione di T\g c olla varietà, fuori di Uo, si comporrà di un numero 

 finito di rette: tante quanti sono — in lu — gli À'n— 1 " incidenti a Zq (secondo 5n— 5), a TTo ^secondo 

 rette) ed appoggiati agli n — 3 piani a(i,i, aj,n-3 ciuindi in numero di Pn-;. Ecc. 



