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SULLA INCIDENZA Ul RETTE, PIANI E Sl'AZU OIJDINAKII, ECC. 



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piani " incidenti ad r, I, TT' ed appoggiati ad 01,02 „ ne indicheremo con \\f l'interse- 

 zione con TT; con ip' indicheremo l'intersezione di V e TT'. — Segue dai n' (32-63': 

 In un S5 il sistema (K) degli oo^ piani incidenti ad una retta r, un S3Z ed appoggiati 

 a due piani(Xi,a., definisce tra due SaTTjTT' nmc corrispondenza biunivoca del 5° ordine. 

 Ai piani di TT — p. es. — sono omologhe in TT' le superficie del 5° ordine aventi a 

 comune una retta tripla (s'), passanti inoltre semplicemente per una curva del 5° ordine 

 per due coniche (qpi', qpo') e per due rette (di', d2') (*). La quintica (sghemba, razio- 

 nale) vp' ha la retta s' rpiale quadrisecante, le due coniche (p/, 92' si appoggiano ognuna 

 in un punto alla s', le rette d/, da' sono incidenti alla s' ; la quintica \\)' ha tre punti 

 a comune con ciascuna delle coniche cp/, qp»' punto con ciascuna delle due 



rette di', d2'; le due coniche qpi', 92' appoggiano ognuna in un punto alla dx' ed 

 ognuna in un punto alla à.2 ; non hanno punti a comune. Le due rette d/, d2' sono fra 

 loro sghembe (**). 



65. — Se un punto P descrive in TT una retta m, il piano del sistema {K) 

 uscente da P descriverà il sistema cc^ •• dei piani incidenti a due rette r, m, ad un 83 Z 

 ed appoggiati a due piani ai, „ : sistema costituente una il/, del 5" ordine (n" 32) 

 che indicheremo con M. 



a) Gli 00 1 piani — di {K) — costituenti la M secano I secondo le genera- 

 trici d'una rigata del 4° ordine (n° 32). 



b) Le due Ml:'^, M hanno a comune quattro piani. Invero: gli coi piani 

 della V secano pure TT secondo le generatrici d'una rigata del 4° ordine (cfr. n" 63) : da 

 ciascuno dei punti comuni alla m ed a questa rigata esce un piano incidente ad m, r, TT, Z 

 ed appoggiato ad 01,03: comune quindi a V ed 3/. 



c) La M ha a comune con ciascuna delle Ml^i, ^2 'i^'T- l'igata del 4° ordine. 

 Infatti: la M seca sopra il piano Oj, ad es., una cubica avente nel punto ^i=aiZ 

 un punto doppio (n° 31 , in fine). E chiaro che le due varietà M, avranno a 

 comune la rigata " delle rette uscenti dai punti della ed incidenti ad r e Z „. 

 Queste si appoggiano a Z nei punti di una cubica C"^ (piana, con punto doppio ^1) 

 proiezione sopra Z, dalla retta r della cubica C^. Un S4 : ai condotto per Z seca 

 la C'^, fuori di ^1. in un punto P, la r in un punto R: la retta PB costituisce colla 

 cubica C"3 la completa intersezione di uj colla rigata, la quale risulta pertanto del 



(') Il passaggio per le due rette dx', dì è conseguenza delle condizioni precedenti (come si deduce 

 dal seguito). 



Assegnati in TT' tre punti A , B', C', e unica la superficie del 5° ordine avente in s una retta 

 tripla e passante semplicemente per A', B', C' e per le linee (Pi', qps'; di', dì: il piano rt'=A'B'C' seca 

 infatti la s in un punto S', la V secondo 5 punti Pi, Pj, le due coniche <Pi', <P,' secondo coppie di 

 punti Pe', P;'; P», Pi, le due rette di', dì secondo due punti: P',o,P'ii. Si consideri nel piano it' la quin- 

 tica ^tunica) passante semplicemente per i 14 punti: A',B', C', Pi Pn' ed avente in S"' un punto 



triplo. Un piano o condotto ad arbitrio per la s seca — fuori della s' — la M»' in un punto, ciascuna 

 delle due coniche <Pi', qP2' in un punto e la quintica Q in una coppia di punti. Si immagini la conica 

 passante per questi cinque punti : variando il piano a nel fascio is) essa assumerà una 00' di posizioni. 

 Una superficie del 5° ordine la quale abbia la s' quale retta tripla, passi semplicemente per le 

 linee u)'; VuVÌ; di', dì e per i tre punti A',B', C' è secata da ir' secondo la quintica Q: di conseguenza 

 sarà costituita dalle <»' coniche di cui sopra (poiché ognuna di esse ha a comune colla superficie 

 due punti tripli (su s) per la superficie, e cinque punti semplici). Quindi, ecc. 



