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SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII. ECC. 



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tiene la s' quale retta doppia e — semplicemente — tutte le altre linee del sistema oma- 

 loidico in TT' (*). 



67. — Da ogni punto della curva — comune a TT ed alla varietà M^' — esce 

 un piano del sistema (7^) incidente a TT' (secondo una retta). Poiché tale piano incide 

 a Z, e contiene una retta incidente ad r, Z, Oj — ad es. — ed a TT' (congiungente i 

 punti d'intersezione del piano stesso risp. con r ed aj: Ai punti della quintica 

 sono omologhe in TT' le l'ette che si appoggiano alla retta s' ed alle due coniche 9/, 92'- 

 E — ricordando che ciascuna delle due coniche ha a comune un punto colla s' — : 

 Alla quintica \]f è omologa in TT' la rigata del 4" ordine di cui è direttrice — tripla — 

 la retta s' e direttrice semplice ciascuna delle due coniche qp^', cpg', unisecanti la s'. 



68. — Da ogni punto P della conica qpi — comune a TT ed alla varietà — 

 (n° 62 ovvero: traccia su TT delle ooi rette p incidenti ad r, Oi, Z c IT. escono cc^ 

 piani del sistema {K) costituenti un fascio (/;) nell'uà comune ai due SypT.pao. 

 a) L' S3 contenente il fascio è incidente a Z. — b) Fra gli cci piani del fascio uno 

 è incidente a TT, e quindi appartenente alla varietà V (il piano congiungente p alla 

 retta intersezione di TT coli' contenente il fascio). — c) L'Sg che contiene il fascio 

 ha pure un piano a comune colla 't»., (poiché giace in un Si{po..^ col piano Oo ed 

 incide ad r e Z). Pertanto: Ai j^ufti della conica <Pi sono omologhe in TT' le rette che 

 si appoggiano alla retta s', alla quintica ip' ed alla conica (p2- E — ricordando (n" 64) 

 che la s' è quadrisecante la quintica y\i', che la conica qp^' si appoggia in un punto 

 alla s' e in tre punti alla v}j' — si potrà concludere senz'altro: Alla conica cpi è 

 omologa in TT' la rigata del 4° ordine^ della quale son direttrici: la retta s' (tripla), la 

 quintica ip' e la conica cpo' (semplici). (Le due rette di' , d^ ne sono generatrici). — 

 Analogamente scambiando i due piani Oi ed a,. 



69. — Da ogni punto F della retta d^ = AiTT escono cc^ piani del sistema (A") 

 costituenti un fascio nell'SsAi, di asse la congiungente i punti P, A^?'. Quindi: 

 Ad ogni punto della retta dj è omologa in TT' tutta la retta d^'. Analogamente si cor- 

 rispondono d.2 e dJ . 



70. — (022)2. Assegnati nell'Sg in modo generico due piani ai,a2 e due -SsZij^Q) 

 da ogni punto P dell' S-^ esce un solo piano incidente a Zi, Z2 ed appoggiato ad ai. 

 (il piano congiungente P ai due punti che 1' -Sg comune agli iperpiani PZj, PZ2 seca 

 sopra Oj ed a^). La corrispondenza — biunivoca — definita dal sistema (022)^ tra 



(*) Può verificarsi — con procedimento aflatto analogo a quello tenuto nella nota (**) al n" 64 

 — che tali condizioni definiscono eiFettivamente una superficie del 4° ordine. Un piano uj arbitrario 

 seca invero s in un punto 5'; v' secondo cinque punti Pi', P5' ; le due coniche (p/, W secondo due 

 coppie di punti P^', P-'; Pi, P9' e le due rette dì, rf,' secondo due punti P'io. P'it- Si consideri in u) la 

 quurtica C' avente in S' un punto doppio e passante semplicemente per gli 11 punti P/, .... P'u- 

 Ogni superficie del 4° ordine avente s quale retta doppia, passante per vp'; cp/cp/; e conseguente- 

 mente per d(, di' dovrà contenere la C'. Condotto ora un piano ad arbitrio jìcr la s', si immagini 

 la conica passante per i 5 punti — fuori di — comuni a o ed alle ; Ti'. <Pj' e C'. Variando a nel 

 fascio (s') ecc. 



