FONDAMEiNTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



MEMORIA 



DI 



BEUr^ir^O LEVI 



A PIACENZA 



Approvata nell'Adunanza del 17 Aprile 1904. 



INTRODUZIONE 



Le tre geometrie d'Euclide, di Lobacefski e di Riemann si considerano ordina- 

 riamente come tre rami di un medesimo tronco : e come tali si presentano di fatto 

 COSI dal punto di vista analitico del Riemann, dello Helmholtz, del Lie, come dal 

 punto di vista projettivo di Cayley e Klein. Ma le ricerche analitiche sui fondamenti 

 della geometria hanno come primo presupposto la rappresentabilità dello spazio 

 mediante coordinate: si fa in esse, per esser precisi, una geometria di numeri; ora 

 è ben vero che Io spazio nostro può riferirsi ad un sistema di coordinate, ma a ciò 

 si giunge nel modo più ovvio poggiandosi precisamente sopra ipotesi che non si veri- 

 ficano ugualmente nelle tre geometrie (^). Non altrimenti le ricerche che s'innestano 

 alla geometria projettiva restano, quali le considerava il Cayley, applicazioni della 

 teoria delle coniche e delle quadriche, piuttosto che studi sui fondamenti della geo- 

 metria, almeno finche la geometria projettiva non si poggia su basi proprie, indipendenti 

 da ogni concetto tolto ad una particolar metrica. 



E per due vie diverse si cercò di fatti di liberare dalle ipotesi proprie alla 

 geometria euclidea la costruzione della geometria projettiva. Nell'una, seguita di 

 preferenza dai geometri italiani, si abbandonò ogni riguardo alle ordinarie intuizioni 

 spaziali e si volle unicamente costituire la geometria projettiva in organismo logico. 

 Nell'altra, seguita di preferenza dai geometri tedeschi, si cercò di esprimere in forma 

 di postulati alcuni fatti primordiali, che si suppongono riconosciuti sperimentalmente 

 in una limitata regione dello spazio, e di dare per tal modo alla geometria projettiva 

 e alla metrica una base comune, sulla quale si potessero poi costruire indififerente- 



(') Si deve ricordare a questo proposito una nota del prof. Enriques, Stdle ipotesi che permettono 

 l'introduzione delle coordinate in una varietà a più dimensioni, ' Rend. Palermo XII, 1898. Da un 

 semplice esame di questo lavoro si riconosce come le ipotesi adottate dall'A. contraddicano preci- 

 samente alla geometria iperbolica, almeno finché con opportune convenzioni non sia conveniente- 

 mente completato lo spazio. 



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