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BEPPO LEVI 



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mente le tre geometrie sorelle; l'opera fondamentale in questo indirizzo furono le 

 Vorlesungen del Pasch {}). 



Nel primo indirizzo la geometria metrica è ancora lo studio di un gruppo arbi- 

 trario di proprietà delle coniche; nel secondo invece le ricerche fatte fin qui non 

 possono dirsi totalmente esaurienti. Se infatti si considerano i postulati mediante i quali 

 il Pasch (che prima d'ogni altro li enunciò esplicitamente) cercò di mostrare come 

 la metrica si coordini alla geometria proiettiva secondo le vedute del Klein, si dovrà 

 osservare che, contro l'opinione dell'A., essi escludono precisamente una delle tre 

 possibilità: quella della geometria ellittica (2). Non è difficile, invero, colmare tal 

 lacuna, quando non si impongano limitazioni al modo onde si risolve la questione. 

 Ma che ciò sia fatto esplicitamente non è a mia conoscenza; e più ancora resta 

 aperto il campo alle investigazioni, ove si limiti il numero e la natura delle nozioni 

 e delle proposizioni primitive — il che, come tosto si avrà occasione di ripetere, è 

 fra i desideri di una perfetta costruzione logica. 



A tal ricerea s'ispira il capitolo I del presente lavoro. Si enuncia in esso un 

 sistema di postulati che sono validi ugualmente per le tre geometrie nominate non 

 solo, ma per tutta una classe di metriche rispetto a una quadrica conica assoluta, 

 tra cui le geometrie poste recentemente in evidenza dal sig. Dehn (^) e la metrica del 

 campo esterno ad una quadrica. Inoltre, indipendentemente da ciò, tali postulati rap- 

 presentano, pel loro minor contenuto, un progresso su quelli proposti fin qui da altri 

 autori (*). 



Nel capitolo II, appoggiandosi ai fatti metrici stabiliti nel capitolo precedente, 

 si gettano le basi della geometria projettiva e si mostra la dipendenza della metrica 

 da essa. E degno di nota come ne risulti la rappresentazione per coordinate dello 

 spazio projettivo e la geometria analitica, e di conseguenza tutta la geometria projet- 

 tiva nelle sue parti essenziali, indipendentemente da ogni nozione circa la potenza 

 dell'aggregato dei punti (^), e circa l'ordine degli elementi in una forma di prima 

 specie ; nozioni estranee effettivamente alla geometria projettiva generale, giacché è 

 noto che i suoi teoremi fondamentali sono validi ugualmente nello spazio (numerabile) 

 di punti razionali e nello spazio di punti immaginari (in cui non è definito l'ordine). 



(^) V. anche Schur, Einfilhrung der idealen Elemente u. s. u\, " Math. Ann. 39, e Ueber die 

 Grundlagen de)- Geometrie, " Math. Ann. ,,55. 



C) Il Pasch ammette (II Grundsatz) che un segmento si possa sempre prolungare di una ugual 

 lunghezza ed afferma esplicitamente (p. 115, 4) che in figure congruenti a punti proprii corrispondono 

 punti proprii. Questa ipotesi, unita al postulato d'Archimede (IV Grundsatz, p. 105) e alle sue con- 

 seguenze projettive, nel caso che l'involuzione assoluta sopra la retta sia ellittica, porta alla con- 

 clusione che il punto coniugato di un punto proprio è anch'esso proprio. 11 che contraddice agii 

 altri postulati. 



('J Die Legendre'schen Siitze ii. die Winkelsumme itti Dreieck, " Math. Ann. 53. 



(*) V. in particolare Schur, 1. e, " Math. Ann. ,,55, e Pieri, Della geometria elementare come 

 sistema ipotetico deduttivo (" Memorie della R. Acc. delle Se. di Torino serie II, voi. XLIX), i cui 

 postulati hanno coi nostri maggiori contatti. Oltre all'esclusione della nozione di ordine, di cui si 

 parla nelle linee seguenti, noto in particolare i postulati della retta: il relativo post. Vili del Pieri 

 esclude contemporaneamente la geometria ellittica e lo spazio a pivi di tre dimensioni (cfr. 1. e., 

 p. 10 e 26). Ne l'una ne l'altra esclusione nei postulati presenti, mentre poi quanto resta general- 

 mente valido del post. Vili del Pieri è stabilito per deduzione nei n' 9 e seg. 



(^) Riguardo alla potenza dell'aggregato dei punti necessari alla geometria projettiva, cfr. il n" 21. 



