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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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Nel capitolo IIT si dimostra dapprima, per mezzo di esempi, l'indipendenza ordi- 

 nata del maggior numero dei postulati ammessi nel cap. I e si discute poi della 

 capacità dei postulati medesimi in confronto del teorema di Pascal, della determina- 

 zione del campo dei punti da attribuirsi allo spazio metrico e della determinazione 

 della geometria metrica. 



Rimando il lettore all'indice inserito alla fine del presente lavoro, per completare 

 questa notizia riassuntiva del contenuto. 



Il presente sistema si svolge intorno alle ideo primitive di punto e di congruenza 

 di due coppie di punti. Una tal riduzione dei concetti primitivi non è, per se, una 

 novità nella storia della geometria, ne nelle ricerche di questi ultimi anni (') ; nè io 

 vorrei esagerarne l'importanza, come mi pare si faccia talora, in confronto, per es., 

 alla riduzione attuata dal signor Pieri per la geometria Euclidea e Lobacefskiana ai 

 concetti primitivi di punto e di moto : non si può infatti evitare di considerai'e, 

 insieme colla congruenza di coppie, delle corrispondenze che mutino determinati 

 sistemi di punti in sistemi congruenti ('-'), perchè è nell'oggetto medesimo della geo- 

 metria metrica che, date talune congruenze fra coppie di punti di due sistemi, si 

 possa senz'altro affermare la congruenza di tutte le loro coppie omologhe di punti (^). 

 A parte queste modalità, la riduzione dei concetti primitivi ai più semplici e meno 

 numerosi ha per iscopo di precisare nel modo migliore l'analisi dei postulati ; essa 

 equivale alla decomposizione di un sistema di equazioni logiche — i postulati di un 

 dato sistema deduttivo — in due parti, di cui l'una, risolta rispetto al massimo numero 

 possibile di incognite (concetti che si definiscono), si muta in un sistema di definizioni, 

 l'altra, rimasta implicita, costituisce i postulati propri della teoria. Si viene cosi a 

 diminuire l'arbitrarietà dell'attribuzione di significati agli enti intorno a cui questa 

 s'aggira. 



Nella scelta dei postulati ho procurato che essi esprimessero proprietà contenute 

 nella nostra abituale concezione geometrica e fossero, quanto possibile, ordinatamente 

 indipendenti. 



La scuola dei logici non chiede generalmente ai postulati altro che siano inde- 

 componibili e fra loro indipendenti, e distingue fra indipendenza ordinata ed assoluta, 



(') Ricordo fra i tentativi antichi di definire gli enti geometrici mediante la nozione di distanza, 

 quelli del Leibniz e del Bolyai: fra le costruzioni recenti quella del Veronese (Eìemenii di Geometria), 

 ove però intervengono anche come nozioni primitive la retta e il .segmento; e i sistemi di defini- 

 zioni pubblicati dai sig.' Peano (" Atti della R. Accad. di Torino 1902) e Padoa (" Periodico di 

 matematica 1904). Anche il sig. Kagan ha esposto nei " Jahresbericbte d. d. Math. Verein. „, 11, 1902 

 {Ein System von Postulateti welche die euclidische Geometrie defìniereii; vedi anche un'appendice nel 

 voi. 12 dello stesso periodico) un sistema di postulati in cui non compaiono, come rappresentanti 

 idee primitive, altre parole che punto e distanza, ma la distanza del sig. Kagan è senz' altro un 

 numero, onde la soppressione di altri concetti primitivi e piuttosto simulata che effettuata. 



Cfr. il post. IX e il § 2 del Cap. III. 



(') Così il postulato dell'uguaglianza dei triangoli nel sistema dello Hilbert non riuscirebbe a 

 definire la congruenza delle figure piane se non fosse unito ai postulati della congruenza fra segmenti 

 (e fra angoli) i quali non esprimono solo una relazione fra le coppie costituite dagli estremi di 

 questi, ma bensì l'esistenza di una corrispondenza (realizzata dal movimento) fra i punti di segmenti 

 congruenti (e fra i raggi di angoli congruenti^. La qual corrisjìondenza il detto postulato permette 

 di estendere a figure piane qualsiansi. Si noterà qui che la nozione di congruenza di figure che ne 

 risulta è eccessivamente complessa di nozioni primitive diverse. 



