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BEPPO LEVI 



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tendendo a questa come ad aspirazione ultima. Ma pare a me che queste distinzioni 

 siano ben poco determinate e traggano più che altro dalla forma verbale che i postu- 

 lati assumono. Si dice infatti che si decompone un postulato A quando si enunciano 

 due proposizioni A' e A" di cui A sia il prodotto logico. Se ora nella classe logica 

 cui appartengono gli elementi di cui tratta il postulato A (enti, relazioni: relazioni 

 binarie, ternarie, ...) ne esiste un'infinità che non soddisfano ad A, onde A limita in 

 essa una classe minore E, si potranno pensare infinite proposizioni delimitanti classi E' 

 in cui E sia contenuta e tali quindi che A possa risultare dal prodotto logico di 

 esse e di altre proposizioni : onde il postulato indecomponibile è un'illusione, almeno 

 finche non si enunci esplicitamente un principio limitatore di questa indefinita decom- 

 ponibilità. 



Parimenti, quando i postulati A,B,C,... siano ordinatamente indipendenti, saranno 

 assolutamente indipendenti le proposizioni: A , B ^ - A , C <j - A^j - B , ... equivalenti, 

 nel loro insieme, al sistema proposto (^); ondo con una semplice trasformazione 

 logica si può ritener risoluto il problema della indipendenza assoluta, tosto che sia 

 risoluto quello della indipendenza ordinata. Ben è vero che proposizioni della forma 

 accennata ripugnano ordinariamente, ma non sarebbe nuovissimo il caso di un simile 

 enunciato, almeno fra i teoremi, e d'altronde non è difficile spesso trasformare le 

 proposizioni in modo da dissimularne la grottesca composizione e da raggiungere la 

 forma categorica, ch'è fra gli incoscienti desideri comuni: in ogni modo, se anche 

 talora meno facile, la questione è condotta a una trasformazione verbale e quasi 

 abbandonata, per una maggior determinazione, al gusto del ricercatore {^). 



(') Siano A, B, C, D, . . . proposizioni fra loro assolutamente indipendenti , cosicché ciascuna di 

 esse non sia deducibile dalle rimanenti per moltiplicazione logica. Sia M una proposizione da esse 

 ordinatamente indipendente, cioè che non consegua dal loro insieme, senza che si escluda che una 

 delle A, B, C,... sia conseguenza delle rimanenti e della M. Si consideri la proposizione — (ABCD...) 

 = — A'o — B ^ — — Du . . . Il prodotto logico ABD... (M^ — A^ — B'j — — Du...) si 

 sviluppa in {MABD . . .) ^{ABD ... — C). Ora, per ipotesi, C non è conseguenza di ABD . . . , quindi 

 la classe definita da ABD... — C non è nulla; d'altronde, per definizione, essa non è contenuta 

 in quella definita da C, onde nemmeno sarà contenuta in quella definita da C la classe definita da 

 ABD .. .[M^ — (ABCD .. .)]. Così la proposizione ifu — (ABCD...), come M, non è conseguenza 

 delle proposizioni precedenti, e ciascuna di esse — (qui si è mostrato per la C) — non è conse- 

 guenza di questa e delle altre. Ma ABCD . . . [M^j — {ABCD ...)]= MABCD . .. , vale a dire che il 

 sistema costituito dalla M e dalle proposizioni ABCD... è equivalente al sistema formato da 

 queste proposizioni e dalla M'^{ABCD . . .). — Si supponga ora che A,B, C, D, ... siano solo ordina- 

 tamente indipendenti : il risultato precedente ci mostra che saranno indipendenti assolutamente 

 A e B^ — A, poi queste proposizioni e la Cu — Au — {B ^ — A) = — A'-i{ — B n A) — {C ^ 

 — A^—B)n{Cu — A^A)=Cu—Au—B, poi queste e la D^—A^—iB^—A) w - (Cu —A'^ — B), 

 che un calcolo analogo permette di scrivere Z>v — ^u — jgu — C, e così via, secondo è enunciato 

 nel testo; e il sistema di queste proposizioni è equivalente al dato. 



(^) Posso offrire qui alcuni esempi di tali trasformazioni: il post. IV del sistema che io qui pre- 

 sento è conseguenza dei postulati VII e Vili; ma i tre postulati sono ordinatamente indipendenti; 

 ora basterà nelle ipotesi di VII aggiungere, per es., che la coppia ef sia diversa dalla de (oppure 

 sia diversa dalla de la ab) perchè la deduzione sia impossibilitata, ma il sistema totale sia equi- 

 valente al primitivo. Così, per tacere di altri postulati la cui trasformazione è anche troppo evidente, 

 basterà che al postulato XVII si sostituisca: " Se abc sono tre punti non allineati, e rf è un punto 

 ' tale che i{bc) = t(<i6), tutto il piano p{abd) è contenuto nel piano p(abc) , perchè il nuovo postulato 

 equivalga ad affermare la somma logica del post. XVII e della negazione del post. XV. — Un altro 

 esempio può trarre occasione da una ricerca del sig. Hilbert ( Ueber den Satz von der Gleichheit der 

 Basiswinkel im gleiehsehenkligen Dreieck, " Proc. of the London Math. Soc. XXXV). Egli dimostra 

 infatti che il teorema dell'uguaglianza degli angoli alla base del triangolo isoscele non è conse- 



