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FONDAMENTI DELLA METRICA PliOJETTIVA 



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Un certo maggior lume paro offrire la scuola dogli empiristi, in tutte le sue 

 sfumature — da quelli che considerano i postulati come un risultato sperimentalo, a 

 quelli che li considerano semplicemente come un artificio comodo per la spiegazione 

 di fatti sperimentalmente acquisiti. — Nemmeno a tale concezione io saprei sotto- 

 scrivere senza riserva. Come noi percepiamo unicamente attraverso i nostri sensi, e 

 della capacità di essi è affetto ogni nostro acquisto sperimentale, così è inconcepil)ile 

 una interpretazione dell'esperienza che non sia appoggiata ad un sustrato qualsiasi 

 precedente ad essa. E la geometria è in massima parte da identificarsi con questo 

 sustrato; e per spiegarci la formazione di esso noi possiamo riposarci col Kant nella 

 supposizione di un'in finzione, ma non ci è negato di scendere a una critica piìi pro- 

 fonda di leggi generali del nostro pensiero, le quali forse non possono escludere un 

 notevole contributo dell'autorità e dell'errore ('). 



I postulati adottati nella presente ricerca sono, per comodità del lettore, elencati 

 alla fine del lavoro. 



Piacenza, Marzo 1904. 



guenza del postulato d'Archimede; che dal detto teorema non possa conseguire il post. d'Archimede 

 è d'altronde evidente. Il sig. Hilbert aggiunge allora il postulato del contenuto limitato {Axiome der 

 Nachbarschaft], mediante il quale si può completare la deduzione del teorema dell'uguaglianza degli 

 angoli alla base. Ora si osservi che, date due proposizioni fra loro assolutamente indipendenti A e B, 

 se ne può dedurre una C=(AB)'j — B indipendente da 5 e tale A non sia conseguenza di C. ma 

 sia conseguenza di B e C, e tale inoltre che B non è conseguenza di C ed ^; cosicché un sistema 

 equivalente al sistema A, B h fornito dal sistema C, B od anche dal sistema C, A, B. Per riconoscere 

 l'esattezza di queste aSermazioni, basta effettuare i prodotti delle nostre proposizioni a due a due 

 e confrontarli colla proposizione residua. Applicando le osservazioni del testo si può anche dedurre 

 un sistema di tre proposizioni assolutamente indipendenti cioè le (^Z?) — B, A^(B — A), Bu — A. 

 11 postulato del contenuto limitato dello Hilbert ha appunto le funzioni della proposizione C. Ma una 

 proposizione che occupi lo stesso posto si può ottenere trasformando la proposizione C dalla sua 

 definizione medesima: (AB)'~' — B. Sia A il teorema dell'uguaglianza degli angoli alla base del 

 triangolo isoscele, B il postulato d'Archimede: si enuncerà dapprima: " Se in un triangolo isoscele 

 " avviene che esista un multiplo dei suoi lati, superiore ad ogni segmento assegnato, gli angoli 

 ' alla base del triangolo sono uguali „. Ma da questa forma, di composizione troppo evidente, si 

 passerà tosto ad una, forse verbalmente più soddisfacente, dicendo : " Rendendo sufficientemente 



* piccoli i lati di un triangolo isoscele si può fare in modo che la diflFerenza dei suoi angoli alla 



* base risulti piccola quanto si vuole riuscendo così ad una forma che pare anche trarre dall'espe- 

 rienza esterna. 



(') Queste leggi generali possono forse raccogliersi intorno alla semplicità e all'analogia, sem- 

 plicità che va però intesa nella tendenza ad alterare il meno possibile ordini di cognizioni e inter- 

 pretazioni di fatti precedentemente acquisiti. Ma nella estrema arbitrarietà della scelta delle 

 interpretazioni possibili pei fatti nuovi, non si devon forse dimenticare le ammissioni quasi casuali 

 che ogni giorno si fanno — almeno provvisoriamente, per fermare le idee e fino a prova contraria — 

 in ogni ricerca scientifica; le quali ammissioni si perpetuano poi per l'autorità del maestro sullo 

 scolaro finche da esse non derivino contraddizioni inconciliabili : e ciò che noi chiamiamo intuizione 

 non e spesso altro che una idea imposta prima dall'autorità, assorbita poi per abitudine e indisso- 

 lubilmente legata alle altre nozioni concomitanti. La riscossa che è talora compiuta da spiriti critici 

 e ribelli all'autorità, è una delle migliori prove in appoggio di questa tesi: per questi spiriti, adde- 

 strati al perpetuo dubbio alla scuola della filosofia scientifica, si forma quella intuizione flessibile e 

 continuamente mutevole che permette La facile variabilità dei postulati fondamentali di certi campi 

 scientifici nei quali s'aggira soltanto il pensiero dei dotti. Mi si permetta di collegar qui due fatti 

 noti: nel testo euclideo l'assioma V (il noto postulato d'Euclide) ha la forma esplicita di proposizione 

 inversa di un'altra indipendente da esso, e d'altra parte la scuola Pitagorica ammetteva il più 

 spesso implicitamente le proposizioni inverse, — e ciò avviene d'altronde tuttodì ad ogni mente poco 

 addestrata all'analisi. 



