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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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mutano i punti dell'un sistema nei punti omologhi dell'altro, e mutano ogni altro 

 punto che si voglia pensare aggiunto al primo sistema in un punto determinato, per 

 ciascuna di queste trasformazioni, per modo che ogni coppia di punti è trasformata 

 in una coppia congruente. Tali trasformazioni si chiameranno congruenze (^) ; e se ai 

 ha abc... .= a'h'c' ... ognuna di tali trasformazioni la quale muti i punti ahc... rispetti- 

 vamente in a'h'c' ... si dirà determinata dalla congruenza abc... = a'b'c' ... 



Se e ed e' sono due punti non appartenenti rispettivamente ai sistemi ahc..., a'b'c'..., 

 e se esiste una congruenza che trasformi e in e' , determinata dalla relazione afte. .=a'è'c'..., 

 si dirà sovente, per brevità, che la o una congruenza abc... = a'b'c'... muta e in e'. 

 E da notare che può talvolta usarsi l'articolo determinato se anche la relazione 

 abc... ~ a'b'c'... non determina univocamente la trasformazione di ogni punto che si 

 possa pensare aggiunto al primo sistema in un altro punto, purché sia univocamente 

 determinata la trasformazione dei punti che si considerano. 



Il precedente teorema enuncia per queste trasformazioni l'invertibilità (1"), e la 

 componibilità per prodotto (4"): useremo per queste operazioni sulle congruenze il 

 comune simbolismo per le operazioni sulle trasformazioni; se una congruenza |i tras- 

 forma un punto a in a', un sistema S in S', scriveremo |ua = a', [xS=^S'. 



§ 2, — La catena e la retta. 



4. Punti medi di una coppia - Simmetrici di un punto rispetto ad un altro. 

 — Dai post. Vili e IX segue che, qualunque siano i punti abc, esiste un punto c' 

 tale che abc = hoc' . Noi ammetteremo che 



Post. X e XI. — Qualunque siano i punti a, b, esistono punti tali che, 

 detto c uno di essi, 

 1" È abc = bac ; 



2° Non esiste alcun punto ci distinto da a tale che abc = bdc. 



Tr. 1. " Nemmeno esiste un punto e, diverso da è, tale che abc=eac „. Se infatti 

 tal punto esistesse, ogni congruenza che trasformi abc in bac (X e n" 3) farebbe cor- 

 rispondere ad e =H è un punto e' =4= a , tale che ace = bce' e quindi ahc = e'hc ovvero 

 bac = be'c e, in forza del post. X e del teor. del n'* 3, abc = be'c contro il post. XI. 



Def. 1. — Ogni punto c soddisfacente alle condizioni dei post. X e XI si dirà 

 punto medio della coppia a, b. In simboli si scriverà c€è]a, cea\b. 



Def. 2. — Si dirà pure che b è simmetrico di a rispetto « c ed « simmetrico di b 

 rispetto a c. In simboli beale, a^bj^. 



Tr. 2. " Se una congruenza tien fermo il punto a e un punto c medio della 

 " coppia ah, terrà fermo anche è Se infatti tal congruenza potesse portare b nella 

 posizione b' =¥^b, sarebbe abc = ah'c ossia (X e n° 3) hac = ab'c, abc = b'ac contro 

 il teor. 1. 



Tr. 3. " Se abc = def e c(.a\b, ne segue che fedìe Infatti: P Da abc = def , 



(') La lieve traslazione che così subisce il significato della parola ' congruenza , mi pare senza 

 danno: essa concorda con locuzioni comuni e non mancano esempi di altre traslazioni simili. Il testo 

 del discorso sarà sempre sufficiente ad evitare ogni equivoco. 



