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BEPPO LEVI 



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abo = bac segue bac = edf = abc = def; 2° Se esistesse un d' tale che def = ed'f, 

 esisterebbe pure un a' =f= a (trasformato di d' per una congruenza che porta def in abc) 

 tale che abc = ba'c, contro il post. XI. La stessa proposizione può enunciarsi, a causa 

 del post. IX, " Se «è — ed il sistema costituito da a, è e da tutti i a\b, a/t, bj^ {^) è 

 " congruente al sistema costituito da c, e da tutti \ c\d, cj^, dl^ „. 



5. La catena di una coppia di punti. — Def. Si dirà catena della coppia ab di 

 punti distinti l'aggregato dei punti a, b, dei loro punti medi, dei simmetrici — qua- 

 lora esistano — di a rispetto a è e di è rispetto ad a, e di tutti i punti che si otten- 

 gono da coppie di punti appartenenti alla catena medesima mediante determinazione 

 di loro punti medi e di simmetrici dell'un punto della coppia rispetto all'altro. 



La catena della coppia ab si rappresenterà con (ab). 



Poiché ogni coppia possiede punti medi (X e XI), ogni catena contiene almeno 

 tre punti. 



Tr. 1. " La catena {ab) è individuata dalla coppia ab, coincide colla catena {ba), 

 "e — se c e sono due punti qualunque di {ab) — la catena {ed) è interamente 

 " contenuta nella catena {ab) „. 



La prima parte di questa proposizione può anche enunciarsi : 



Tr. 2. " Ogni congruenza che non sposti i punti a e b trasforma in se stessa la 

 " catena {ab) (naturalmente senza che debbano restar fissi perciò tutti i punti di 

 " questa) 



Il teor. 3 del n° 4 dà ancora: 



Tr. 3. "Da ab = ed segue {ab) ~ {ed) „ vale a dire " una congruenza trasforma 

 " una catena in una catena „. 



6. Le congruenze sulla catena. — Post. XII. — Se abc appartengono ad 

 una stessa catena e se aè = bc, c è un simmetrico di a rispetto a b. 



Def. 1. — Un punto a si dirà aderente ad un punto b se esiste un simmetrico 

 di a rispetto a b {-). 



Tr. 1. — "Se il punto a è aderente a è, anche il punto b è aderente ad a „. 

 Risulta dal teor. 3 del n° 4 quando si ricordi che ba = ab (Vili). 



Def. 2. — Occorrendo di esprimere in modo simmetrico rispetto ai due punti a 

 e b che a è aderente a è e è ad a, si dirà che a e b sono coerenti. 



Tr. 2. — " Se a e è sono punti coerenti esistono congruenze che trasformano in 

 " se stessa la catena {ab), portano a in è e non lasciano fermo alcun punto della 

 " catena {ab) .,. 



Sia infatti cea/i,; sarà abc = cba (X); d'altra parte cb = bc (Vili). Il prodotto delle 

 due congruenze (n" 3) converte ab in bc e quindi {ab) in {be) (n° 5 t. 3) : d'altra parte 

 c appartiene ad {ab) e a a {bc) (poiché aec/i); quindi le due catene {ab) e {bc) coin- 



(') La proposizione è evidentemente condizionata all'esistenza dei ak, bU, che nulla permette di 

 affermare : ma essa afferma che se esistono ah e 6/o, esistono pure c/d e die. 



(') Qualunque siano a e b, ogni a/b e aderente ad a : se quindi si volessero introdurre le nozioni 

 relative all'ordinamento dei punti, si dovrebbe concludere che sopra ogni catena (e in seguito poi sulle 

 varietà maggiori) i punti " abbastanza prossimi „ al punto a sono aderenti ad a secondo la definizione 

 del testo. Valga questa osservazione a giustificare la scelta del nome. 



