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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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cidono (5 t. 1), cioè la nominata congruenza converte in se stessa {ab). Nessun punto 

 di (ab) potrà restar fermo per questa congruenza, perchè, se x fosse un tal punto, 

 sarebbe abx = bcx e quindi ax = bx = ex. In forza del post. XII, b dovrebbe essere 

 un a/j: il che la congruenza abx = bcx esclude (post. XI). 



Tr. 3. — " Ogni congruenza che porti « in è e ò in un altro punto della 

 " catena {ab) diverso da a, converte la catena in se stessa e porta il punto b in 

 " un aji e un in a „. Infatti, detti b' il punto in cui b è portato dalla congruenza 

 e «1 quello che da essa è portato in a, si ha ab = bb', a^a ^ ab. Quindi, poiché per 

 ipotesi b' appartiene ad {ab), b'eait, (XII). Allora il ragionamento del teor. precedente 

 mostra che la congruenza converte in se stessa la catena {ab) e lo stesso avviene 

 della congruenza inversa. Allora ai€è/„. 



L'ipotesi che b sia portato dalla congruenza in un punto della catena diverso 

 da a conduce quindi ad affermare l'esistenza di aji, e di bj^. " Se dunque i punti a e b 

 " non sono coerenti, ogni congruenza che converta in se stessa la catena {ab) e porti 

 " a in b dovrà portare b in a „. 



Post. XIII. — Non esistono due diversi simmetrici d'uno stesso punto a 

 rispetto a un dato punto b. In simboli, se ceaji, c'eali è c = c'. D'or innanzi la 

 relazione ceaji, si potrà dunque scrivere c = ali,. 



Tr. 4. — " Se a e è sono punti coerenti, ogni congruenza che porti a in ^ e 

 " qualche a\b in un altro punto di {ab), porta b in a/j,; ed ogni congruenza che scambi 

 " oppure tenga fermi a q b, tien fermi tutti i punti medi della coppia ab „. 



Se infatti cea|è, ed una congruenza porta a in b, c in un punto c'4=c appar- 

 tenente ad {ab) e è in b' , è abc = bb'c ; e quindi (4 t. 3) 6'= bj^: b' appartiene ad {ab); 

 dunque la congruenza muta in se stessa la catena {ab) (t. 3). E inoltre c'b = ca^cb ; 

 quindi (XII e XIII) c' = cji; e tutte le congruenze che portano a in è e spostano c 

 portandolo in un altro punto della catena, convertono c e b negli stessi punti. Ora una 

 di esse fu considerata nei teor. 2 e 3 e porta b in «/(,; lo stesso avviene quindi di 

 ogni altra. 



Poiché ora a/i, è, per definizione, diverso da a. se una congruenza dovrà scam- 

 biare a e b, non potrà muovere alcun a\b. 



Se infine una congruenza tien fermi a e b, essa non potrà muovere alcun a \b, 

 perchè, facendola seguire da una congruenza che scambi a e b (Vili) si otterrebbe 

 una congruenza prodotto che scambia a e e sposta qualche a\b. 



Dal teor. 4 segue che: 



Tr. 5. — " Ogni congruenza che tenga fermo un punto medio della coppia ab 

 " di punti coerenti e converta la catena {ab) in se stessa, tien pure fermi tutti i punti 

 " medi della coppia ab „ perchè tal congruenza dovrà tener fissi ovvero scambiare i 

 punti a Q b (XII e XIII). 



Tr. 6. — " Se a e è sono punti non coerenti, la coppia ab ha almeno due punti 

 * medi, e precisamente ad ogni punto medio della coppia ne è associato un altro, sim- 

 " metrico del primo rispetto a ciascun punto della coppia. Ogni congruenza che converta 

 " la catena in se stessa e porti a in b, scambia questi due punti, e se tien fermo un 

 " loro punto medio, tien pur fermo il suo associato; se lo muove, lo scambia con questo 

 Sia infatti c(.a\b: i punti a e c sono coerenti e quindi esiste (t. 2) una congruenza |i 

 tale che \ia^c. \xc — b e, se si pone \xb=^b', sarà b' =cU poiché 6 = a/c. So allora si 



Skrik II. Tom. LIV, l' 



