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BEPPO LEVI 



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applica nuovamente la congruenza n, si ha [x^a=\ic=b, \i^c=nb=b' , \i^h—\xb'—\xcl^i,=bji,'. 

 Essendo \\^a = 6, un corollario del teor. 3 ci mostra che non può differire da a. 

 Quindi bli.—a, cioè è'ea|è; inoltre si è trovato b' = clb; infine si ha b=aly, e quindi 



è' =r laè = jia/iai,. = c/a. 



Se ora una congruenza tien fermo c e sposta a e b, convertendo in se stessa la 

 catena, scambierà a e b e convertirà b' = cU in cli=b'. Se una congruenza converte 

 in se stessa la catena e porta a in è spostando c, lo porterà in un punto c' tale che 

 c'b = ca = cb. Allora c' = cU (XII e XIII) cioè c'=b'. La congruenza convertirà inoltre 

 b in a (t. 3) e è' = c/„ in è'/t = 



Si è trovato incidentalmente \JLab = cb' ; quindi ab = cb', cioè: 



Tr. 7. — " Se rt e è non sono coerenti, la coppia ab è congruente a ciascuna 

 " delle coppie di suoi punti medi simmetrici rispetto alla coppia: tutte queste coppie 

 " sono dunque congruenti fra loro „. 



Tr. 8. — " Se c e c' sono due punti medi di una coppia ab di punti non coe- 

 " renti, e sono fra loro simmetrici rispetto alla coppia ab, esiste nella catena (ab) 

 " una coppia di punti coerenti di cui essi sono punti medi „. Se infatti dec\a, d sarà 

 aderente ad a ed esisterà (t. 2) una congruenza \i che trasforma in sè la catena 

 {ad) = (ab), porta a in d e non lascia fermo alcun punto della catena. Sarà (t. 3) 

 )a(/=:c e quindi \xc = pLal^i = d/^. Se si pone pic = d' sarà dunque ced\d' ; inoltre }Àae=dd' 

 onde dd' = ac : siccome a e c sono coerenti, sono pure coerenti d e d'. Infine la con- 

 gruenza definita da ed = ed' converte in sè la catena e tien fermo c ; quindi (t. 6) 

 tiene pure fermo c'; è cioè c'd = c'd' e c'(.d\d'. 



Tr. 9. — " Ogni congruenza che tenga fermi due punti coerenti a, b, tien pure 

 " fermi tutti i punti della loro catena „. Sia difatti |i una tal congruenza e sia cea\b: 

 sarà )uc = c (t. 4). Sia ora m un punto della catena (ab) il quale, se possibile, si 

 sposti per |i e sia \iin = m'. Sarà am = am', bm s bm', cm = em'. Sia poi v una con- 

 gruenza che scambi a e b; sarà ve = e (t. 4), ma vw dovrà essere diverso da in, 

 altrimenti am = bm, onde m€a\b (XII) e quindi |uw = m (t. 4). Se si pone vw — wi", 

 m" apparterrà ancora ad (ab) (5 t. 3) e sarà m"e = em e quindi m" — ìnj, = to'. 

 Allora ma = m'b, mb = m'a, onde, per le congruenze precedenti, ma=mb, cioè di nuovo 

 mea|è, il che, nell'ipotesi che \xm^m, contraddice al teor. 4. 



7. La retta e le congruenze su di essa. — La catena di una coppia di punti 

 rappresenta, per gran parte delle sue proprietà, la retta congiungente i due punti. 

 Fondamentale fra le altre è la proprietà enunciata nel precedente teorema : ma esso 

 non dice che non esistano altri punti fissi per quella congruenza per cui non sono 

 spostati i punti della catena; di più non è escluso che la catena determinata da due 

 punti d'una catena data non sia una parte soltanto di questa catena (cfr. n° 5) (^), 

 ed in tal caso tali altri punti fissi debbono esistere se non si vuol contraddire ad una 

 proprietà fondamentale della retta. Porremo perciò la seguente 



(') Gli esempi sono ovvii: siano 1,2, 3,..., 9 i vertici di un ennagono regolare inscritto in un 

 cerchio : si chiamino congruenti due coppie di essi quando gli archi (minori della semicirconferenza) 

 determinati da esse sono uguali e spazio sia l'insieme di questi 9 punti: i postulati precedenti 

 sono soddisfatti; ogni coppia ha un punto medio e ogni punto un simmetrico rispetto a un altro. 

 La catena (1.2) comprende tutto lo spazio: la catena (1.4) è costituita dai soli punti 1,4,7. 



