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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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Bef. 1. — Chiamasi retta della catena (ab) o semplicemente retta o congiungente 

 della coppia ab l'aggregato di tutti i punti che non sono mossi da nessuna congruenza 

 che lasci fissi tutti i punti della catena {ab). 



La retta della coppia ab si rappresenterà con x{ab). Evidentemente la catena di 

 una coppia qualunque di punti coerenti appartenenti ad x{ab) è contenuta nella retta. 

 Noi ammetteremo che 



Post. XIV. — Se ogni congruenza che lasci fermi tutti i punti della 

 catena (ab) lascia pur fermi tutti i punti d'un'altra catena (ed), reciprocamente 

 ogni congruenza che non muova nessun punto di (ed) lascierà fermi tutti i 

 punti di (ab). 



Post. XV. — La catena di due punti qualunque d'una retta appartiene 

 alla retta. 



Segue tosto dal post. XIV che " la retta d'una catena è identica colla retta 

 " d'un'altra sua catena qualunque „ e da questa osservazione e dal post. XV che 

 " la congiungente due punti è identica colla congiungente due suoi punti qualunque „. 

 Segue pure: 



Tr. 1. " Ogni congruenza trasforma una retta in una retta , (IX e XIV). 



Tr. 2. " Tutte le congruenze che lasciano fermi due punti coerenti d'una retta 

 " lasciano fermi tutti i punti della retta „ (XV, 6 t. 9, XIV). 



Tr. 3. " Se abc sono tre punti di una retta e se ac = bc, sarà a — bl^ ovvero 

 " a e 6 coincidono „. Si supponga infatti, in primo luogo, che b q c siano coerenti. 

 Ogni congruenza che tenga fermi b e c tiene fermi tutti i punti della retta (t. 2), 

 fra gli altri a. Se dunque a è distinto da b, sono soddisfatte le due condizioni: 

 1° abc = bac; 2° non esiste un punto d tale che abc = dbc: quindi cea\b (n° 4). Se 

 poi b e c non sono coerenti, sia b'e b\c; esiste un punto a' tale che aa'e = bb'c (IX) 

 ed è a'f. ac (4 t. 3). Allora a'c = b'c e b' e c sono coerenti: se a'=b', a=cla'—clf=b; 

 se poi a' =i= b', risulta dalla dimostrazione precedente che a' = b',^ : a' e b' costitui- 

 scono quindi una coppia di punti medi ài b e c, simmetrici rispetto a questi punti 

 (6 t. 6) e a = c/„- = b. 



Tr. 4. " Tutte le congruenze che tengon fermo uno stesso punto d'una retta e 

 " trasformano la retta in se stessa spostandone qualche punto, tengono fermo ogni 

 " punto della retta non aderente a quello e tx'asformano ogni altro punto della retta 

 " nel suo simmetrico rispetto a tutti questi punti fissi. Tutte queste congruenze sono 

 " quindi identiche fra loro rispetto alla trasformazione della retta Esse non pos- 

 sono di fatto muovere un punto della retta non aderente al punto fisso, altrimenti 

 quel punto avrebbe simmetrico rispetto a questo (t. 3), contro l'ipotesi ; nè possono 

 tener fermo un punto aderente ad un punto fisso, altrimenti resterebbe fissa tutta la 

 retta (t. 2). 



In generale tutte le proprietà della catena riscontrate nei n' prec. appartengono 

 pure alla retta. 



Def. 2. — Chiameremo ribaltamento di una retta intorno ad un suo punto la cor- 

 rispondenza determinata sulla retta da quelle congruenze che tengono fermo quel 

 punto e spostano qualche altro punto della retta. Se « è il punto fisso si rappresen- 

 terà il ribaltamento con p„. 



