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BEPPO LEVI 



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Def. 3. — Chiameremo cardine l'insieme dei punti di una retta che rimangono 

 fissi per uno stesso ribaltamento della retta. 



Tr. 5. " L'insieme di un punto e di tutti i punti di una retta per esso, ad 

 ' esso non aderenti, costituisce un cardine. L'insieme dei punti medi di una coppia 

 " di punti coerenti è un cardine ; a due a due questi punti non sono coerenti „ (t. 4). 



Tr. 6. " Tutti i cardini d'una stessa retta sono fra loro congruenti; dati due 

 " cardini d'una retta esiste cioè una congruenza che trasforma l'uno nell'altro scam- 

 " blando fra loro due punti arbitrariamente assegnati l'uno dell'uno, l'altro dell'altro 

 " cardine „. Tal congruenza è infatti il ribaltamento della retta intorno a un qualunque 

 punto medio della coppia di punti assegnata. 



Tr. 7. " Se ad una retta appartiene una coppia di punti non coerenti, ogni sua 

 " coppia di punti ha almeno due punti medi Infatti la coppia di punti non 

 coerenti ha almeno due punti medi (6 t. 6), e questi sono pure medi di una coppia 

 di punti coerenti (6 t. 8j e appai'tengono quindi a un cardine (t. 5); basta allora 

 ricordare il teor. prec. 



Tr. 8. " L'insieme dei punti medi d'una coppia di punti non coerenti è costituito 

 " al più da due cardini „. Siano infatti a q b due punti non coerenti e sia tne ajb. 

 Il ribaltamento scambia fra loro a e b e scambia un qualunque a\in con un deter- 

 minato b\m (simmetrico del primo rispetto ad w); questi due punti sono coerenti e 

 il ribaltamento terrà fermo ogni loro punto medio. L'insieme di questi punti medi 

 costituisce un cardine cui m appartiene e di cui tutti i punti sono a\b. — Suppo- 

 niamo che esista un a\b non appartenente a questo cardine e sia w . porta n in 

 un altro a\b e sia n: sarà na = n'b e poiché na = nb, n' = w/,,; e parimenti n' = 

 Cioè: " Il ribaltamento intorno a un a\b porta ogni altro a'b che con esso non appar- 

 " tenga ad uno stesso cardine in un altro a\b simmetrico del primo rispetto ad a e a è 

 " (il punto associato al primo del n° 6, teor. 6) „. Sia, se possibile, p un a\b che non 

 appartenga nè con m ne con n ad uno stesso cardine. Il prodotto dei due ribalta- 

 menti Pm, p„ riporta in se stessi a, b,p e trasforma m ed n rispe'ttivamente in mia ed 

 assurdo perchè, a e p essendo coerenti, ogni congruenza che li tenga fissi deve tener 

 fisso ogni altro punto della retta. 



Si osservi che w'=w/m; e parimenti, se w'=m/„— m/i, sarà w'— m/„=w/„.; cioè 



Tr. 9. " Se due punti non coerenti (appartenenti quindi a un cardine) posseg- 

 " gono due cardini di punti medi, a ogni punto di ciascuno di questi cardini è associato 

 " un punto dello stesso cardine, simmetrico di esso tanto rispetto ai punti del cardine 

 " cui appartengono i punti dati quanto rispetto ai punti dell'altro cardine; si ha 

 " COSI una terna di cardini tali che i punti di ciascuno di essi si associano in coppie 

 " di cui gli altri due cardini costituiscono l'insieme dei punti medi „ (^). 



(') Lo studio del piano escluderà, nel § seguente, che una coppia di punti non coerenti possa 

 possedere più cardini di punti medi, e fisserà a 2 il massimo numero di punti che possono costi- 

 tuire un cardine (10 t. 10). L'ipotesi che una stessa coppia di punti non coerenti possa possedere due 

 cardini di punti medi dà luogo a una quantità di conseguenze di notevole simmetria: dati due 

 cardini d'una terna di cui al teor. 9 il terzo è perfettamente determinato da essi, come coppia di 

 cardini di punti medi di convenienti sue coppie: reciprocamente a due cardini arbitrari di punti 

 medi di coppie di punti d'uno stesso cardine e sempre associato un cardine ben determinato che forma 

 con essi una terna. Rileviamo anche i teor. 12 e 13 segg. — Cionondimeno ci manca ogni esempio 



