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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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Tr. 10. " Se una congruenza trasforma in sè una retta, spostandone ogni punto 

 " (cfr. 6 t. 2), il prodotto di essa e di un ribaltamento della retta intorno a un suo 

 " punto a è un ribaltamento della retta intorno ai punti medi della coppia costi- 

 " tuita da a e dal punto che quella congruenza porta in a „. Sia infatti «i questo 

 punto e sia &ea!ai e h' il suo trasformato per quella congruenza; sarà aib=ab=ab' ; 

 quindi b' =bla. Se dunque dopo la congruenza si opera il p», b' sarà riportato in b. 



Tr. 11. "La trasformazione che la congruenza considerata nel teor. prec. opera 

 " sulla retta è determinata da una coppia di punti corrispondenti a^.a „. Infatti, 

 poiché il ribaltamento è una congruenza involutoria (sulla retta) il teor. prec. mostra 

 tal trasformazione come il prodotto di quelle operate dal ribaltamento intorno al 

 cardine ai\a e da p". 



Def. 3. — Si chiama scorrimento della retta la trasformazione determinata sopra 

 la retta da una qualunque congruenza che la trasformi in se stessa spostandone 

 ogni punto. l 



Tr. 12. "Se due punti non coerenti si trasformano l'uno nell'altro per uno scor- 

 " riinento della loro retta, la loro coppia, ed ogni coppia della stessa retta hanno un 

 " solo cardine Se infatti a^a è la coppia considerata, il teor. 10 mostra che esiste 

 un ribaltamento che tiene fermi insieme tutti i punti medi della coppia: essi costi- 

 tuiscono quindi un sol cardine. 



Tr. 13. " Il prodotto dei ribaltamenti di una retta intorno a due suoi punti è 



* l'identità se questi appartengono allo stesso cardine, è un ribaltamento se essi 

 " appartengono a cardini distinti di una stessa coppia di punti non coerenti, è uno 

 " scorrimento in ogni altro caso „. 



§3.-11 piano. 



8. Proprietà di appartenenza. JPost. XVI. — Esistono punti non apparte- 

 nenti ad una retta. Segue: 



Tr. 1. " Esistono più rette, e due rette distinte non possono avere a comune 



* più di un punto „. 



Def. — Se abc sono tre punti non allineati, dicesi piano dei punti abc l'aggre- 

 gato dei punti che appartengono alle rette che congiungono il punto a coi punti 

 della retta x{bc), il punto b coi punti della retta r(ac), il punto c coi punti della 

 retta x{ab) {^). Il piano dei punti abn si rappresenterà con p{abc). 



Ammetteremo il 



Post. XVII. — Se abc sono tre punti non allineati, e rf è un punto 

 della x{bc) diverso da b. tutto il piano p{abd) è contenuto nel piano p{abc) {^). 



Rimando al citato lavoro del Pieri per le conseguenze che se ne deducono circa 

 la determinazione di un piano mediante tre suoi punti non allineati e circa l'appar- 

 tenersi di rette e piani (§ 1, P. 24-27, p. 13-14). 



concreto in cui siano soddisfatti tutti i precedenti postulati e si verifichi l'esistenza di due cardini d'una 

 stessa coppia di punti; la quale esistenza non abbiamo per contro potuto escludere deduttivamente. 



(') Cfr. Pieri, Della geometria elementare, ecc. P 20, p. 12. — Schub, Veber die Grundlagen der Geo- 

 metrie, ' Math. Ann. 55, p. 268. — Pascii, 1. e. p. 25. 



(') Cfr. PiEHi, 1. e, post. IX, p. 13. 



