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BEPPO LEVI 



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9. Una congruenza non può tenee fisse due eette concorrenti. Def. 1. — Si 

 dirà che un punto a è aderente ad una retta r quando è aderente a qualche punto 

 di r senza appartenere ad r. 



Post. XVIII. — Se r è una retta di un piano tr, esistono congruenze che 

 tengono fermo ogni punto di r e trasformano tt in se stesso spostandone 

 qualche punto. 



Def. 2. — Ogni congruenza che soddisfi al post. XVIII si dirà un ribaltamento 

 del piano tt intorno ad r. La nuova posizione di un punto a del piano, che la con- 

 gruenza sposti, si dirà simmetrica di a rispetto ad r. 



Dimostrerò ora che un ribaltamento di un piano intorno ad una sua retta non 

 può lasciar fermo alcun punto del piano aderente a questa. E perciò necessario pre- 

 mettere alcune considerazioni preliminari ; s'intenderà in questo n° e nei due seguenti 

 che si parla unicamente di enti appartenenti ad uno stesso piano. 



Lemma 1. — " Se un ribaltamento di un piano intorno ad una sua retta r lascia 

 " fermo un punto del piano aderente ad r, lascia ferma qualche retta concorrente 

 " con r „. Infatti su r esiste un punto aderente al punto fisso considerato {Def. 1): 

 il ribaltamento non sposta nè l'uno nè l'altro; quindi lascia fissi tutti i punti della 

 loro retta. 



Lemma 2. — " Se una congruenza lascia fermi tutti i punti di due rette, le 

 ' rette che congiungono i punti dell'una coi punti dell'altra non possono a due a due 

 " avere comuni punti che la congruenza sposti La congruenza converte infatti cia- 

 scuna di queste rette in se stessa. Se due di esse avessero a comune un punto 

 mobile, dovrebbero aver comune il punto trasformato e quindi coincidere. 



Lemma 3. — " Se una congruenza lascia fermi tutti i punti di due rette con- 

 * correnti, e se esistono — nel piano delle due rette — rette pel punto comune che 

 " si trasformino in se stesse senza tener fermi tutti i loro punti, queste incontre- 

 " ranno ciascuna congiungente due punti delle rette fisse, e la congruenza lascia 

 " fermi i punti d'intersezione „. 



Siano x{ah) e x{ac) le due rette fisse, x{am) una retta del piano che — per ipo- 

 tesi — si trasformi in se stessa, e si supponga chè essa incontri x{bc). Se il punto 

 d' incontro fosse mosso dalla congruenza, sarebbe trasportato in un altro punto 

 di x{bc) e contemporaneamente in un altro punto di x{am) ; cioè x{bc) e x{am) avreb- 

 bero due punti comuni e coinciderebbero, mentre x{bc) non passa per a. — Ciò 

 posto x{bc) incontrerà certamente x{am) : perchè, si consideri il piano come : 

 se x(am) non incontrasse x{bc), ogni suo punto dovrebbe stare sulle rette che da è e 

 da c projettano rispettivamente r(ac) e x{ab), e quindi — pel precedente ragiona- 

 mento — dovrebbero tutti esser fissi per la congruenza considerata : la x(am) sarebbe 

 cioè retta di punti fissi, contro l'ipotesi. 



Lemma 4. — " Sempre nell'ipotesi di una congruenza che tenga fermi tutti i 

 " punti di due rette concorrenti, ciascuna retta del loro piano, passante pel loro punto 

 " comune, che la congruenza non trasformi in sè, incontra tutte le congiungenti i 

 " punti delle due rette fisse, fatta al piìi eccezione per una di queste congiungenti 

 " per ciascun punto delle rette fisse „. Siano sempre x(ab), x(ac) le due rette di punti 

 fissi, x(am) la retta considerata, che la congruenza sposta. Intanto esistono congiun- 

 genti b con punti di x{ac) o c con punti di x{ab) che incontrano questa retta (basta 



