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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 295 



per accertarsene considerare il piano come \){abc)). Con una conveniente scelta di b 

 e die sulle x{ab), x{ac) si può dunque supporre che r(èc) incontri r(am). Il punto d'in- 

 contro sarà spostato dalla congruenza, poiché r(a?») è spostata. Siano d ed e due altri 

 punti rispettivamente di x{ab), x{ac), distinti entrambi da a, ò e c, e si consideri il 

 piano come p{ade): o r(aw) sarà la congiungente a con un punto di x{de), nel qual 

 caso essa incontra x{de) — ovvero i suoi punti staranno tutti su congiungenti d ed e 

 rispettivamente con punti di x{ac) e di x{ab). Ma il punto che r(am) ha su x{bc) non 

 può esser di tal fatta, perchè, essendo mobile, non può stare su alcun'altra retta 

 congiungente punti di x{ab) e di x{ac) {Lemma 2). x{am) deve dunque incontrare x{de). — 

 Si noti che, scelto arbitrariamente =4= 6 su x{ab), e è un punto arbitrario di x(ac), 

 purché diverso da c; dunque x{am) incontra ciascuna congiungente d con punti 

 di x{ac), fatta al più eccezione per la x{dc). Riguardo a questa possibile eccezione si 

 deve aggiungere: 



Lemma 5. — " Sempre nelle ipotesi del lemma precedente, se delle rette x(ab), r(ac) 

 " una almeno contiene più di tre punti, ogni retta del piano, passante pel punto a, 

 " che la congruenza sposti, incontrerà tutte le congiungenti i punti di x{ab) con 

 quelli di x{ac) „. Perchè la dimostrazione precedente cadeva in difetto solo quando 

 si trattava di mostrare che dalla x{aìn) fossero incontrate le x{dc), x{be). Ma se esiste, 

 p. es., su x{ab) un punto f distinto da a, b, d, si proverà allo stesso modo che x{am) 

 deve incontrare x{fe) e quindi, cambiando nella precedente dimostrazione b in 

 c in e, e in c, si concluderà che anche xidc) è incontrata da x{am); e cambiandovi 

 allora b in d o d in b, si avrà che anche x{be) è incontrata da x{am). 



Osserviamo che ogni retta contiene almeno tre punti, perchè almeno tre punti 

 contiene ogni catena; si ha allora il 



Lemma 6. — " Se per un punto a del piano passano due rette x{abd), x{ace) 

 " costituite ciascuna da tre soli punti, le rette x{bc), x{be), xidc), x{de) sono tutte incon- 

 " trate da ciascuna retta per a che contenga più di tre punti; e fra le coppie di 

 * rette x{bc) x{de), x{be) x{dc), almeno una è incontrata da tutte le rette per a, fatta al 

 " più eccezione per una „ Si consideri infatti il piano come p{abc). I punti del 

 piano staranno tutti su r(èc), x{be), x{cd) e sulle proiettanti da a punti di x{bc); se 

 dunque una retta per a contiene più di tre punti, deve forzatamente incontrare x{bc). 

 Considerando d'altra parte il piano come p{adc) o p{abe) o p{ade) si riconosce simil- 

 mente che le rette per a di più di tre punti incontrano xidc), r(4e), r(rfe). — Una 

 retta per a che contenga tre soli punti potrà invece non incontrare alcune di queste 

 rette, ma se essa taglia r(ic) dovrà incontrare xide); si consideri infatti il piano 

 come Piade): i punti di r(èc) non possono appartenere a questo piano che in quanto 

 stanno su rette projettanti da a punti di xide) (in particolare, uno di essi può even- 

 tualmente appartenere a xide)): la retta proposta dovrà dunque essere una tal proiet- 

 tante Se eventualmente la retta proposta passasse pel punto comune — supposto 

 che esista — a r(6c) e a xide), basterebbe considerare il piano come Piabe) per con- 

 cludere che il suo terzo punto dovrebbe appartenere a r(èe); ed allora si conclude- 

 rebbe come or ora che essa deve tagliare xicd) in un punto che, data l'esistenza di 

 tre soli punti sulla retta, non potrebbe differire da quello. — Tolto questo caso, dunque, 



CI Cfr. n. 31. 



