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BEPPO LEVI 



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con una conveniente attribuzione dei nomi b, c, d, e, si può ritenere che un punto 

 della retta è a, un altro sta su r{6c), il terzo su x(de). 



Si supponga ora che una retta x{amn) non contenga che tre punti e precisamente 

 m ed n stiano rispettivamente su x{bc) e su x{dé): si consideri il piano come p(aèm): 

 i punti del piano staranno sulle x{hm) — x{bc), x[bn), x{dm) e sulle projettanti da a 

 punti di x{bc): poiché x{bn) e x{dm) non possono avere con x[be) e x{dc) altri punti 

 comuni che 6 e ci!, ed eventualmente i punti h e k d'intersezione rispettivamente di 

 x{be) con x{dm) e di x{dc) con x{bn), da questo piano sarebbero escluse le rette che 

 incontrassero x[be) e x{dc) fuori ài h e k e non incontrassero r(èc), assurdo (n° 8): 

 tutte queste rette debbono dunque incontrare x{bc) e quindi x{de)\ infine non fanno 

 eccezione nemmeno le x[ah), x{ak), se esse sono distinte, perchè non potrebbero esse pos- 

 sedere un terzo punto senza incontrare x[bc) (si consideri sempre il piano comep(rtèw)). 



L'eccezione non si elimina senz'altro se si suppongono h q k allineati con a e si 

 suppone che x[ahk) non contenga altri punti. Però in tale ipotesi basta ripetere il 

 medesimo ragionamento su per concludere che ogni retta per a diversa da x{amn) 



e da x[ahk) incontrerebbe le quattro rette r{èc), r(èe), x{cd), x{de) e conterrebbe con ciò 

 più di tre punti. " Basta affermare l'esistenza di due rette per a costituite da soli 

 " tre punti, diverse da x{ab) e da x[ac) ed aventi i loro punti diversi da a sulla stessa 

 " coppia di rette x{bc) x{dp) o x{hé) x{dc) perchè sia esclusa anche l'esistenza di quella 

 " retta eccezionale e si possa asserire che tutte le rette per a nel piano incontrano 

 " quella medesima coppia di rette „. 



Tr. 1. " Un ribaltamento di un piano intorno ad una sua retta r non può lasciar 

 " fermo alcun punto aderente ad r „. 



Pel lemma 1 questa proposizione equivale a dire che quel ribaltamento non può 

 lasciar fermi tutti i punti di una retta concorrente con r. Noi supporremo appunto 

 che per uno stesso ribaltamento m siano rette di punti fissi due rette r(aè), r(ac) con- 

 correnti in un punto a e mostreremo l'assurdo di questa ipotesi. 



Osserviamo anzitutto che per a passa certamente qualche retta i cui punti non 

 sono tutti fissi per \x: tale è ogni retta che congiunga a con un punto mobile per m; 

 ma di più si potrà supporre che non siano trasformate in se stesse tutte le rette 

 per a. Infatti \i trasforma x{bc) in se stessa; se non lascia fissi tutti i suoi punti, 

 ogni retta congiungente a con un punto mobile di x{bc) è trasformata da \x in un'o^^m 

 retta per a\ se invece x{bc) si suppone retta di punti fissi per m, si osservi che ogni 

 punto che sia congiunto cosi ad a come a 6 da rette che \x trasforma in sè, resta fisso 

 per \i ; se dunque qualche punto del piano si sposta per \x, almeno per uno dei 

 punti a, b passano rette che m non trasforma in se stesse. Siccome tanto a quanto b 

 sono punti di concorso di due rette di punti fissi per m, si potrà chiamare a quello 

 per cui passa qualche retta che |li non trasforma in se stessa. — Ciò posto distin- 

 guiamo due ipotesi : 



P ipotesi. " Si suppone che per a passino due sole rette di punti fissi e che 

 " di esse una almeno contenga più di tre punti, ovvero che ne passino quante si 

 " vogliano e due almeno di esse contengano più di tre punti „. Siano x{ab), x{ac) le 

 due rette fisse nel 1° caso, le due rette fisse di più di tre punti nel 2°. Tutte le 

 congiungenti punti di queste due rette incontrano ciascuna retta per a che non sia 

 per |u retta di punti fissi (lemmi 3, 4, 5). Si può ritenere che fra queste congiun- 



