FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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genti ve ne siano di quello i cui punti siano spostati da m, ciò equivalendo ad am- 

 mettere, come si mostrò potersi fare, che passino per a rette che \i sposti. Ma allora, 

 poiché tutte queste rette mobili incontrano ciascuna di quelle congiungenti, ciascuna 

 di tali congiungenti possiede punti mobili per \ì., q \x induce su ciascuna un ribalta- 

 mento intorno ai suoi punti fissi su r(aè), x{ac). Consideriamo in particolare x{bc): beo 

 non saranno fra loro coerenti. Sia «te bc; m è aderente a è e a c e sarà spostato da m 

 e portato in in' = mji = w/^ (cfr. 6 t. 6 e passim); v(am) è quindi spostata da M ed 

 incontra perciò (a cagion dell'ipotesi) tutte le congiungenti punti di x{ab) con punti 

 di x{ac). Sia v un ribaltamento del piano intorno a x{am) ; esso dovrà spostare il 

 punto b: nell'ipotesi contraria resterebbero infatti fissi per v tutti i punti di x{bc) 

 (poiché b è aderente ad m); le rette x{ab), x{ac) si trasformerebbero in se stesse per v, 

 e siccome v non può trasformare le congiungenti punti di queste due rette (le quali 

 tutte incontrano x{am)) in altre simili congiungenti che seghino x{am) negli stessi 

 punti (lemma 2), tutti i punti di x{ab) e di x{ac) resterebbero fissi per v. Tal con- 

 clusione è assurda perchè, siccome x{bc) contiene almeno 4 punti : b,c,m,m', tutte le 

 congiungenti punti di v(rtw) e di x{bc), in particolare x{(tb), debbono incontrare le rette 

 per m, mobili per v: tali rette mobili passanti per m sarebbero dunque escluse. Lo 

 stesso avverrebbe considerando le rette per b: ora, che non tutte le rette per due 

 diversi punti fissi possano trasformarsi in se stesse per uno stesso ribaltamento, fu 

 osservato già nelle linee precedenti. 



Ritenuto dunque che v sposta b e x{ab), osserveremo ancora che una almeno delle 

 rette v x{ab), v x{ac) sarà retta di punti fissi per m. Difatti, se v trasforma x{bc) in se 

 stessa, scambia fra loro b e c e quindi x{ab) e x{ac); se poi v e quindi il ribalta- 

 mento inverso v non mutano x{bc) in se stessa, la retta v x{br), avendo a comune 

 con x{bc) il punto m, mobile per m, non potrà incontrare entrambe le x{ab), x{ac) 

 (lemma 2) : quindi non entrambe le v x{(ib), v x{ac] incontrano x{bc) ed una almeno di 

 esse è retta di punti fissi (lemmi 3, 4, 5). Sia questa la \x{ab) e sia \b = c'\ si noti 

 che questa retta, non incontrando x{bc) , sarà certo distinta da x{ab),x{ac): allora 

 per a passano più di due rette di punti fissi ed è quindi esclusa la prima parte 

 dell'ipotesi. Conservando allora solo la seconda parte, la retta r(r/è), e quindi la vx{cib) 

 possiederà piìi di tre punti ; t(èc'), congiungendo punti di due rette fisse di pili di tre 

 punti concorrenti in a, incontrerà x{am) in un punto n, che v lascia fermo. Quindi x{bc') 

 sarà convertita in se stessa da v: chiamando dunque, al bisogno, m il punto w. 

 c il punto c', si può ritenere che v induce un ribaltamento su x{bc) e scambia quindi 

 fra loro x{ab) e x{ac). Sia d un punto di x{ab) diverso da a e da b e sia e =:\d: e ap- 

 parteirà a r(rtc). Sarà v x{be) = x{cd). Allora, siccome x{be) e x{cd) incontrano x{am), 

 dovranno passare per lo stesso punto di questa retta contro il lemma 2. 



2* ipotesi. " Si suppone che il ribaltamento w tenga fisse due rette x{abd). x{ace) 

 " passanti per a, costituite ciascuna da tre soli punti ... 



a) Escluderemo anzitutto la possibilità del caso eccezionale del lemma 6, 

 quando l'ipotesi enunciata dovesse verificarsi. Si ricordi perciò un'osservazione pre- 

 liminare per la quale esistono rette per a che ili sposta. Se una tal retta contiene 

 tre soli punti, la sua trasformata possiederà ancora tre soli punti, e, poiché x{b('), x{be), 

 x{dc), x{de) son trasformate da )i in se stesse, quelle due fra queste rette su cui stanno i 

 due punti diversi da a della prima (lemma 6) contengono pure quelli della seconda, onde 



Sebtf II. Tom. LIV. m' 



