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BEPPO LEVI 



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il caso eccezionale è escluso per un'osservazione finale del lemma 6. — Se poi quella 

 retta mobile contiene più di 3 punti, taglia ciascuna delle 4 rette nominate (lemma 6); 

 ciascuna di esse possiede quindi punti mobili per |a, e |u vi induce un ribaltamento; 

 ciascuna possiede, ancora perciò, più di tre punti. Sia meb\c, neb\m; m ed n sono 

 aderenti a 6 e c; sia un = n' ; siano v e v' due ribaltamenti intorno a x{an), x{an'); 

 essi spostano certamente b e c, poiché si suppone che quelle rette contengano più di 

 tre punti ; altrimenti avrebbero anche x{bc) = x{bn) = r(èn') come retta di punti fissi 

 e si troverebbero nella prima ipotesi. E poiché non è ò = c/„, quei due punti non pos- 

 sono scambiarsi per detti ribaltamenti. Si osservi che si può assumere (i) v' = \)M\r^ ; 

 se allora si suppone che v e v' trasformino x{bc) in se stessa, si riottengono due rette 

 per a \x[atn) e |ur{am) trasformate di x{ab), x{ac) per v o v'] di tre soli punti, diverse 

 da r(aè), r(ac), e appoggiate a r(èc); si applica di nuovo 1' osservazione finale del 

 lemma 6. Se invece si suppone che vr(èc) =H r(èc) sarà vr(6c) =1= v'r(èc), perchè le due 

 rette passano l'una per w, l'altra per n' e, se coincidessero, dovrebbero coincidere 

 con r(òc). Uno almeno dei due punti è e c è dunque trasformato in punti diversi da v 

 e da v': sia ò e si ponga \b = b^, v'b = b^ ^ b^; sarà |uvja~'è = |aii = è/ ; dunque 

 bi e spostato da n; inoltre ciascuna delle rette x{abi), r(a6/) è diversa dalle x{ab), x{ac). 

 Poiché x{abi) possiede tre soli punti, bi sta su una delle rette x{dc), x{de), x{be) (pel 

 lemma 6 e perchè r(èiM) =±= r(è«) ) ; queste si trasformano in sè per dunque bi sta 

 sulla medesima retta e così x{abi) =4= x{abi) e si determina ancora una quaterna di 

 rette di tre punti per a, appoggiate tutte ad una stessa delle quattro rette che con- 

 giungono i punti b, d ai punti c, e, onde si esclude come sopra il caso eccezionale. 



b) Fra le due coppie di rette x{bc) x{de), x{be) x{dc) una è dunque cai*atterizzata 

 dal fatto che ad essa si appoggiano tutte le rette di soli tre punti passanti per a 

 (rette che il precedente ragionamento mostra essere almeno 4). Sia x{bc)x{de); essa 

 sarà incontrata da tutte le rette per a (lemma 6). Ogni ribaltamento intorno ad una 

 retta per a trasforma questa coppia in se stessa, e quindi in se stessa ciascuna 

 delle due rette, a meno che quella retta passi per l'eventuale punto i comune alle 

 due rette, nel qual caso potrebbe scambiarle. Ma tal punto i non esiste; infatti, qualora 

 esistesse, un ribaltamento intorno alla congiungente a con un punto di x{bc) aderente 

 ad i dovrebbe tener fisse le due rette x{bc), x{de), il che, possedendo queste più di 

 3 punti, contraddice alle conclusioni ottenute nella 1-^ ipotesi. 



cj Dimostrerò infine che per a passano rette contenenti più di tre punti. — 

 Ogni ribaltamento intorno a x{bc) sposta a. Nella contraria ipotesi tal ribaltamento 

 dovrebbe infatti tener fissi 6, c, d, e e trasformare in se stesse x{be} (e parimenti 

 x{de), x{dc)) e le rette per a (le quali tutte incontrano x{bc)). I punti di x{be) starebbero 

 cosi ciascuno su due rette che si trasformano in sè {x{be) e la retta che li con- 

 giunge ad a) e sarebbero fissi. Se allora x{be) si suppone di più di tre punti, il ribal- 

 tamento considerato si trova nella 1* ipotesi, che si mostrò assurda. Se x{be) si sup- 

 pone di tre soli punti è, /", si consideri il piano come p{abe): esso conterrà i soli 

 punti a, b, d, c, e,f, e i punti delle rette x{bc), x{de), x{af). Di tutti questi punti già 

 si sa che essi sono fissi pel ribaltamento, meno che pei punti della x{af). Ma ogni 



(') Diciamo " si può assumere „ perchè non è fin qui escluso che possano esistere più ribalta- 

 menti del piano intorno ad una stessa retta. 



