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FONDAMENTI DELLA METRICA PBOJETTIVA 



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retta che congiunga uno di questi punti con b deve possedere almeno un terzo punto, 

 che non potrà stare altrove che su x{dé); sarà quindi fisso; così anche quella congiun- 

 gente si trasforma in se pel ribaltamento e son perciò fissi anche i punti di x{af). 

 Il ribaltamento non esiste. 



Sia dunque p un ribaltamento intorno a x{bc), pa non può essere contemporanea- 

 mente d ed e; scambiando all'occorrenza i nomi b e c, d ed e, si può dunque supporre 

 pa #= d, pd =4= a. Si ponga pa = a', pd = d', x{a'bd'), tx'asformata di x{abd), sarà retta di 

 3 soli punti passante per b. Ciascuna delle rette r(aa'), x{ad') è dunque incontrata da 

 ogni retta per b che possegga più di tre punti (lemma 6), in particolare da t{bc). 



Uno almeno dei punti a', d' non sta su x[de), altrimenti non potrebbe x{a'd') pas- 

 sare per b; sia esso a'. La retta x{na') dovendo segare x{bc) e quindi x{de) (lemma 6) 

 conterrà più di 3 punti. 



Sia p il punto d'intersezione di x{aa'), x{bc) e sia qeb\p. Un ribaltamento intorno 

 a x{aq) trasforma in sè la x{bc) (b)) e la ribalta quindi intorno a q, scambiando b e p, 

 x{<(b) e x{ap). Ora ciò contraddice all'ipotesi che x{ab) non possegga più di tre punti 

 mentre x{ap) ■= r(aa') possiede almeno quattro punti. 



Tr. 2. — " Una congruenza non può muovere qualche punto di un piano e lasciar 

 " fissi tre suoi punti non allineati di cui uno sia aderente agli altri due Perchè la- 

 scierebbe fisse le due rette che congiungono quel punto a questi. 



Tr. 3. — "Se una congruenza trasforma una retta r ed un punto a ad essa 

 " aderente nella retta r' e nel punto a , trasforma ogni simmetrico di a rispetto ad r 

 " in un simmetrico di a' rispetto ad r\. 



10. I RIBALTAMENTI DEL PIANO. — JPost, XIX. — Un punto non ha più di 

 un simmetrico rispetto ad una retta. — Nei riguardi della sola trasformazione 

 del piano (}) " tutti i ribaltamenti di un piano intorno ad una stessa sua retta sono 

 " fra loro identici „. 



Def. 1. — Se r è una retta del piano che si considera, si indicherà con p^ la 

 trasformazione del piano determinata da ogni ribaltamento intorno ad r. Non altri- 

 menti, la si indicherà con p^i se la retta è individuata come x{ab). 



Tr. 1. — "Se p^a = a', sarà p^a' = a e p, trasforma la retta r(aa') in se stessa „. 

 Ogni ribaltamento trasforma cioè il piano involutoriamente. 



Def. 2. — Si esprimerà che la retta s è trasformata in se stessa da p^, ma non 

 è per Pr retta di punti fissi, dicendo che s è perpendicolare ad r ; in simboli si scri- 

 verà s ± r. 



Tr. 2. — ' Se 5 è una retta perpendicolare ad si ha p, = PrP.Pr n- Ribalta- 

 menti intorno a rette perpendicolari sono, cioè, commutabili. Infatti, se a è un punto 

 di s e se a' = p^a, sarà p,a' = a' , p^a' — a; quindi PrP,P,a = a; d'altra parte la tras- 

 formazione PrPsPr non è l'identità, perchè se è è un punto aderente ad e b' = Prb, 

 anche b' sarà aderente ad s ed allora p,b' ^b' e Prp,p,b = p,p,b' =\=^ b. 



Tr. 3. — " Sempre nell'ipotesi che s-Lr, se a,b,a',b' sono punti del piano tali 

 " che a' = p,a, b — p/t, b' = p,a', sarà b' = p.è „. Perchè PrP,Pr6 = b'. 



(*■) E tutto quanto si dirà in questo e nel seguente numero sarà sempre inteso nei riguardi della 

 sola trasformazione del piano. 



