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Tr. 4. — " Nella stessa ipotesi rispetto alle rette r ed s, se a è un punto fisso 

 " per Pr, anche p.a sarà punto fisso per p, „. Perchè allora p,p,p,a = p,p,a e, pel 

 teor. 2, — p,a. 



Lemma 1. — " Se la retta s è perpendicolare alla /• e la incontra in un punto, 

 sarà pure r±s „. Infatti p, converte r in una retta di punti fissi per p, (t. 4), la 

 quale passa pel punto comune a r e s; ma p, non può tener fisse due rette concor- 

 renti (!) t. 1); quindi p,r — r; d'altra parte r non è retta di punti fissi per p,, poiché 

 incontra s; dunque r ± s. 



Lemma 2. — "Se la retta s è perpendicolare alla r e la incontra in un punto o, 

 " ogni altra retta per o perpendicolare ad r sarà pure perpendicolare ad s „. Si sup- 

 ponga che t sia una perpendicolare ad r nel punto o: p, e p< convertono ciascuna r 

 in una retta di punti fissi por (t. 4) la quale dovrebbe passare per o, fisso in 

 ciascuno di questi ribaltamenti; ma non esistono due rette concorrenti fisse per uno 

 stesso ribaltamento (9 t. 1); quindi p,/- — r, pir = r; e poiché in queste trasforma- 

 zioni di r il punto o resta fisso, i due ribaltamenti p,, p, determinano su r io stesso 

 ribaltamento. p,p, lascia quindi fissi i punti di r, mentre sposta i punti di < e di s 

 (giacché Pj non può lasciar fissi i punti di ^ e p, non quelli di s (9 t. 1)); cosi p,p, = pr. 

 Siccome Prt — t sarà p,P(t — p^i — t 't cioè < x «. 



Lemma 3. — " E assurda l'ipotesi che tre rette diiferenti siano perpendicolari 

 " in uno stesso punto ad una stessa retta „. Perchè se s, t, u fossero tre perpendico- 

 lari ad r che lo incontrasse tutte in o, in forza del lemma 2, p.,p, terrebbe fissi tutti 

 i punti di r e di u, mentre sposterebbe punti di e di t; assurdo (9 t. 1). 



Tr. 5. — " 11 l ibaltamento intorno ad una retta non può tener fisso più di un 

 " punto non appartenente alla retta „. Sia r la retta, 7 due punti non appartenenti 

 ad r e fissi per p,. Poiché r ha almeno tre punti, esistono almeno tre congiungenti f 

 con punti di r. g sarà spostato dal ribaltamento intorno ad una almeno di esse. Se 

 infatti esse sono tutte distinte da x(fg) e se il ribaltamento attorno a ciascuna di esse 

 lasciasse fisso a ciascuna di queste rette r(/'(/) sarebbe perpendicolare; poiché 

 tutte incontrano x{fg), ciascuna sarebbe perpendicolare a x{fg) (lemma 1) e ciò è 

 mostrato assurdo dal lemma 3. 



Se poi una di quelle rette è x[fg) medesima, x{fg) incontra r ed una di quelle 

 rette si può sempre supporre passare per un punto di r aderente a questo punto 

 d'intoi'sezione. 11 riballaniento intoi iio ad ossa converte questa intersezione in un altro 

 punto di e quindi i(///) in un'altra rotta por /" o g in un altro punto. 



Ciascuna di (juelle rette ò ±r, e perciò il ribaltamento intorno ad essa porta g 

 in un altro punto // fisso per p^ (t. 4). Se ora r ha piìi di tre punti, un suo punto 

 è certamente fuori delle x{fg), x{fg'), x{gg') ed i tre punti/", g, g' son projottati da esso 

 secondo tre perpendicolari distinte alla r contro il lemma 3. Se poi /• ha tre soli 

 punti li, k, l e sì ammette che pei pi imi due, // e k, passino le x{fg), x{fg') e che i 

 punti g e //' si corrispondano pel ribaltamento intorno a x{fl), la retta x[gg') non può 

 passare per /; altrimenti, poiché / è fisso per p^j che scambia g e g' , sarebbe hg\g' e 

 quindi g aderente ad ^ e ad r, contro l'ipotesi che g sia fisso per p,. (9 t. 1). Anche 

 allora quindi le retto che da l projettano /", g, g' sarebbero distinte l r, il che il lemma 3 

 esclude. 



