21 



FONDAMENTI I>KI,I,.\ MCTHICA l'Kd.IKTTlVA 



301 



Tr. (). — " So sLr sarà i)uro r ls „. Si operi infatti p,. La retta p.r ò rotta 

 di punti fissi per p, (t. l); il teor. 5 oscludo allora olio ossa possa ossero distinta 

 da r. 



'ir. 7. — Duo rotto concorrenti non possono avere dno porpi-iidicolari comuni „. 

 Infatti il ribaltamento intorno a ogmnui di tali perpendicolari dovrebbe muovere 

 l'altra (t. 5) e mutare ciascuna di (piolle rette in se stessa e dovrebbe quindi tener 

 fisso il punto di concorso e indurre su ciascuna di quello rette il ribaltamento intorno 

 ad esso. Il prodotto dei due ribaltamenti dovrt^bbe tener fisso quelle du(( rette e spostare 

 gli assi dei due ribaltamenti contro il teor. 1 del n" 1). 



Tr. 8. — " Se ad una retta r esiste una perpendicolare che la inconti-i : 1° <iua- 

 " lunque sia la retta s i- r i duo ribaltanuMiti p^. p, hanno iilmono un punto fisso 

 " comune; 2° p, determina sulla retta s un ribaltamento, e parimenti p, sulla r „. 



1° Siccome fuori di /• e di n rispettivamente esiste al pili un punto fisso sia 

 per p,. sia por p„ esiste certamente un punti) a che è spostato da p^ e da (),. l'osto 

 p,(( z=a', p^a = b, py = p,è = (t. 3), si può supporre inoltro che i tre punti ahi' 

 non siano allineati: infatti, se ^ è la retta ir che por ipotesi incontra r in un 

 punto o: o si verillca che non è t x .s-, — e si soddisferà detta condiziono prendendo '/ 

 su , ovvero si verifica che < x s, — ed allora p,p, p, e un'alti ji. perpendicolare 

 qualunque ad r non potrà essere x s, altrimenti sarebbe convertita in se stessa da p/ 

 e sarebbe cioii anche lì, contro il t. 7: basterà allora assumere fuori di t perchè 

 abh' non siano allineati. — Si consideii allora il piano \^[iibb'). Il punto a' si tro- 

 verà: o su una congiungento a con punti di x{bb'), o su una congiungenle b ((ni punti 

 di x[ab'), su una congiungente b' con punti di i{<ib). Nel 1" caso s'incontrano lo 

 r(«a'), x{bb'), e poiché p, converte in se stessa ciascuna di queste rotte, e p^ le scambia, 

 pr e p, ne lasciano lisso il punto comune; nel 2° caso s'incontrano x[(i'b) e x((ib') che cosi 

 p, come p, scambiano lasciandone fisso il punto comune; nel 3" caso resterà fisso il 

 punto comune a x{a'b'), x{ab), come si vede ragionando come nel I" caso, pievio lo 

 scambio di p, e p,. 



2" Se /• ed s s'incontrano, è evidente che p^ determina su s il ribaltamento 

 intorno al punto comune. 



Se /• ed .s non s'incontrano, ogni punto fisso comuni; a p, e p, sarà estorno ad una 

 almeno delle due rette. Si consideri uno di qutisti punti fissi : se appartiene a ,s e di 

 nuovo immediato che p, induce su s un ribaltamento. Si supponga quindi che un tal 

 punto fisso comune sia f e non appartenga ad .s-. Siano a, a' dnv punti di s' scam- 

 biati da p, (necessariamente non coerenti nell'ipotesi che non snbisdì im ribalta- 

 mento). Sia mea\a' e sia rn' — m/a — ')nl„t (6 t. 6): sarà p,in, se m non ò fisso per p,. 

 Si consideri la congruenza p^mP/bPr- Pr porta aa'>n in a'am' e scambia x{f(() e v(/'(/'). 

 Inoltre, siccome p, converte in se stosse le rette per f e per un punto della .s mede- 

 sima, le x{fm), x{fa), x{fa') sono xs. Allora p,„ porta a'am' in a'am (t. ()), tien fissa x{f'a) 

 e ribalta x{fa') intorno ad f. Infine Pf^ porta a'ain di nuovo in un'in e scambia r(/'«) 

 e x{fa'). Segno che p,„,p,^p, lascia fissa s, e converte in se stesse r(/'a), x(f(t'). Ora può 

 supporsi che p/„. riportando x{f(i) in x{fa') e viceversa stabilisca fra i loro punti la 

 stessa corrispondenza che p^ ovvero stabilisca la corrispondenza prodotto di questa e 

 del ribaltamento di una di esse rette intorno ad /'. Nella prinni ipotesi p,mP,aP, 

 ril)alta x(f(i) e tien fissa x{fa'), nella seconda tien fissa x{/'(t) e ribalta x{fa'): nell'una 



