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BEPPO LEVI 



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e nell'altra tiene fissa s e un'altra retta; si contraddice cosi al teor. 1 del n° 9. Onde 

 l'assurdo dell'ipotesi che s non si ribalti. Si vede cosi che : " Se s non incontra r esiste 

 certo un punto fisso per fuori di r (su s) — ed uno solo a cagione del teor. 5 



In tutto il ragionamento fatto in 2° si possono evidentemente scambiare r ed s. 



Tr. 9. — " Per un punto di una retta r non passano due perpendicolari alla 

 " retta medesima „. Sia o un punto di r per cui passino, per assurdo, due rette s, t 

 entrambe ±r. Sarà ti.s (lemma 2). Notiamo che ci troviamo nelle ipotesi contem- 

 plate nel prec. teor. E — p^p, e il punto fisso comune a p^, p, è quindi ancora fisso 

 per p<: e siccome per esso passa una delle r(aa'), x{ab), x{ab') (t. 8-1°) e d'altronde a'—p^a, 

 b — p^a, b' = prtt' = p,a, passa per quel punto fisso una retta — che si può sempre 

 ritenere distinta da r, s, t — perpendicolare a una di queste rette. Questo punto non 

 può dunque essere o (lemmi 2 e 3). Sia allora distinto da o : esso sarà fuori di due almeno 

 delle rette r, s, t, ma non potrà essere fuori di tutte tre perchè la retta che lo con- 

 giunge ad sarebbe allora perpendicolare a ciascuna di queste, contro il lemma 3. 

 Sia dunque p e stia su r. Sia n un punto di s e sia m un punto di x{pn) aderente 

 a p{^). psW è un punto di x{pn) diverso da m. Sia PrPsm = m' ; sarà m'=P,m. m' non 

 starà più in x{pn); altrimenti dovrebbe essere m' = m contro il teor. 5. x{inm') lia 

 dunque un punto fisso per p^ (t. 8) diverso da p, appartenente quindi a t (t. 5), e di- 

 verso da se non si vuole che per o passino tre perpendicolari a t (lemma 3). Sia q e 

 sia n' = nlo il punto d'intersezione di s con x{pm'): x{pq) e x{mm') sono jlì e passano 

 entrambe per q; quindi r{pq) j_x{mm') (lemma 2); onde p^, scambia ni e m', x{pm) 

 e x{pm'), n ed n'. E cioè x{pq)±s. Le due rette s e t avrebbero due perpendicolari 

 comuni : r e x{pq), contro il teor. 7. 



Tr. 10. — " Se r è una retta del piano, ed esiste un punto f, non appartenente 

 " ad r e fisso per p,: — 1° Per ogni punto di r passa una ed una sola perpendi- 

 " colare ad r. — 2° Ogni perpendicolare ad r passa per f ed ogni retta per f è ri- 

 " baltata in se stessa da p,. ed è quindi ±r. — 3° Ogni coppia di punti coerenti di 

 " una retta per f ha due soli punti medi, se la retta incontra r, uno solo se non 

 ' incontra r. Su queste rette un cardine è quindi costituito al più da due punti, e 

 " una coppia di punti non coerenti ha un solo cardine di punti medi „. 



[Questo teorema completa e in certo modo inverte il teor. 8]. 



1° Sono i-r le congiungenti f coi punti di r: per ogni punto di r ne passa quindi 

 una, ed altre xr non passano per r in forza del teor. prec. — 2° Qualunque sia m, 

 se Prm = m', x{mm') passa per f: infatti essa deve avere almeno un punto fisso per p^ 

 (t. 8) e se un tal punto non è /". deve stare su r (t. 5), e la retta che lo congiunge 

 con f h ±r e non può differire dalla x{inm') medesima (1°). Ogni retta per f è 

 allora ribaltata da p^ perchè deve coincidere colla congiungente un suo punto qua- 

 lunque col suo trasformato per p,. — 3° Pr non tien fissi che /' e i punti di r : quindi 

 ogni coppia di punti coerenti simmetrici rispetto ad r ha due soli punti medi, se la 

 sua retta incontra r, uno solo (f) se non la incontra: lo stesso avviene allora per 

 ogni coppia di punti coerenti della retta (7 t. 5 e 6). Se sopra una retta un cardine è 



(') Dal teor. 5 segue d'altronde che ogni punto di r{pn) diverso da p e da n è aderente a cia- 

 scuno di questi punti. 



