23 



FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



303 



costituito da un solo punto, non esistono sulla retta coppie di punti non coerenti: 

 se è costituito da due punti a, a', la coppia aa' non può avere piìi di un cardine di 

 punti medi: abbia infatti, so possibile, i due cardini mm', >/»' ; sia | «. // il punto 

 non aderente a p: ì\ ribaltamento della retta intorno al cardine j^p' scambia i due 

 cardini mm', nn'. Si ricordi ora (7 t. 9 e 8) che mm', aa' è la coppia dei cardini di 

 punti medi di un', e nn',aa' quella dei punti medi di vim' ; quel ribaltamento scambia 

 queste due coppie di cardini e converte quindi in se stesso il cardine aa' (cfr. n° 7 t. 9 

 e la nota relativa) ; e poiché a e a' sono aderenti a. p o p', non li lascia fissi. La 

 coppia aa' avrebbe così tre cardini di punti medi contro il teor. 8 del n° 7. 



Tr. 11. — " Ad ogni retta del piano esistono perpendicolari che l'incontrano 

 Sia infatti r una retta del piano, s una retta ad essa perpendicolare. Può supporsi 

 che s incontri r : la proposizione non ha allora più bisogno di prova ; — ovvero che 

 s non incontri r ma che p, determini su r un ribaltamento : allora su r e fuori di s 

 esiste un punto fisso comune ai due ribaltamenti Pr, p,; il teor. 8-2° mostra allora 

 che anche p, induce su s un ribaltamento (i) ed esiste quindi su s, fuori di r un punto 

 fisso per p,., onde esistono rette ±r che la incontrano (t. 10); — ovvero può supporsi 

 che p, deteiinini su r uno scorrimento che scambi fra loro punti a due a due non 

 coerenti (6 t. 6). Sia a un punto di r; si può sempre ritenere di aver scelto come 

 retta s una che passi per un punto p aderente ad a; sia a' il punto in cui a è por- 

 tato da p„ bm \a', b' — bU = bl^, = p,b. È ab = ab' , pb ~ pb' ; quindi pab ^ j)ab' . La 

 congruenza che converte pab in pab' (IX) converte in sè p{pab); e siccome ^ ed a 

 sono coerenti, ha la retta x{pa) come retta di punti fissi; questa congruenza è dunque 

 un ribaltamento intorno a t{pa) e converte d' altronde x{bb') = r in se stessa. Così 

 x{pa)j-r ed anche in questo caso è provata la tesi. 



Questa proposizione, unita al teor. 8, permette di enunciare 



Tr. 12. — * Ogni ribaltamento del piano induce un ribaltamento su ogni per- 

 " pendicolare all'asse del ribaltamento „. 



E unita al teor. 10 dà il 



Tr. 13. — " Su una retta esiste al più un punto non aderente a un suo punto 

 " qualunque: ogni cardine è costituito al più da due punti: ogni coppia di punti, 

 " coerenti o non, ha un solo cardine di punti medi „. 



Tr. 14. — " Ogni congruenza che tenga fisso un punto o e converta in se stessa 

 " una retta r aderente ad esso, converte in sè il piano p{oi') determinandovi un ri- 

 " baltamento intorno alla per o „. Sia infatti f la da o. Sia ju la trasforma- 

 zione determinata nel piano dalla congruenza considerata ; poiché fir = r, ^xo = o 

 sarà ^t = t; d'altronde )a~'Pria— p, ; quindi il punto fisso per p^ che t possiede (t. 12) 

 è pur fisso per |i. Esso deve infatti esser convertito da n in un punto fisso per p,. e 

 non può quindi essere spostato (t. 5) se non appartiene ad >•; ed anche in tale 

 ipotesi, essendo comune a t e a r che |li converte in se stesse, è fisso per ^. Questo 

 punto è inoltre aderente a o che p, sposta. Quindi t è retta di punti fissi per ^: 

 M = P,. 



(') L'ipotesi della 2* parte del teoi'. 8 era unicamente che esistesse un punto fisso comune ai 

 due ribaltamenti Pr. p.. 



