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BEPPO LEVI 



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11. Ribaltamenti e eotazioni del piano. — Tr. 1. — " Se sir e se r ed s 

 " non s'incontrano, il prodotto p,p, è un ribaltamento. Se invece r ed s s'incontrano, 

 " il prodotto PrPj è una congruenza clie ribalta attorno al punto comune ogni retta 

 * passante per questo punto e appartenente al piano „ . — 1° Se le due rette r ed 5 

 non s'incontrano, ciascuna di esse contiene un punto fisso pel ribaltamento intorno 

 all'altra (10 t. 12). La congiungente questi due punti è convertita in se stessa da p^ps, 

 e cos'i Pr come pj vi determinano il ribaltamento intorno al cardine costituito da quei 

 due punti fissi : essa è quindi per p,pj retta di punti fissi, p^p^ è il ribaltamento in- 

 torno ad essa. — 2° Se le due rette r ed s hanno a comune il punto o, potrà ancora 

 avvenire che ciascuna di esse contenga un altro punto fisso pel ribaltamento intorno 

 all'altra; p,.p5 è allora ancora il ribaltamento dianzi determinato, ma questo ribalta- 

 mento tiene fisso il punto o e la tesi non differisce allora da quella del teor. 10-2" 

 del n° prec. 



Indipendentemente però da ogni ipotesi circa l'esistenza di quei punti fissi, val- 

 gono le seguenti considerazioni: Poiché i ribaltamenti sono congruenze involutorie, 

 e sono fra loro commutabili nel prodotto quelli intorno a rette perpendicolari (10 t. 2), 

 la trasformazione p,P5 è involutoria. Sia a un punto del piano aderente ad o. La con- 

 gruenza PrPs lo sposterà certamente, altrimenti per esso passerebbe una retta per- 

 pendicolare a r e a s: il ribaltamento intorno ad essa convertirebbe in se stesse 

 r ed s e terrebbe fisso o ad essa aderente, contro il t. 1 del n° 9. Sia dunque PrPs« = a': 

 la retta x[aa') è convertita in se stessa dalla trasformazione. Nell'ipotesi che essa non 

 passi per o, p^p, sarebbe il ribaltamento intorno alla i.x{aa) da o (10 t. 14) e i punti 

 di questa perpendicolare, aderenti ad o sarebbero fissi per p^p^, il che già si mostrò 

 impossibile. Dunque r(aa') passa per o e subisce il ribaltamento intorno ad o secondo 

 la tesi. 



Inversamente : 



Tr. 2. — ■ " Se a b c sono punti non allineati, e se esiste una congruenza che tien 

 " fisso a e converte b e c in c/^, sul piano p(aèc) esiste una coppia di rette per- 

 " pendicolari passanti per a „. 



Sia \x la congruenza di cui si suppone l'esistenza. \i. ribalta x{ab) ed r(ac) in- 

 torno ad a: il suo quadrato tien fisse queste due rette e quindi tutto il piano : la con- 

 gruenza n è cioè involutoria. Si vede allora che w„i\x = p,,;, perchè tien fissa x[ab) e 

 sposta qualche punto; se quindi \xc = c', Paic' — d sarà }id = Pab<^= d' • Sie fosse d=c, 

 sarebbe x{cc') J-x{ab) e poiché r(cc') passa per a l'esistenza della coppia di perpendi- 

 colari per a sarebbe provata. Se d =.i= c, si consideri x{cd) : p„i,)n muta x{cd) in se stessa 

 scambiando i punti c e d; e poiché a è aderente a c, si riduce al ribaltamento intorno 

 alla retta t±x{cd) per a (10 t. 14). Dunque p„,,)a = p^: ma p„tM ribalta x{ab) intorno 

 ad a; quindi t i.x{ab). 



Combinando questo teorema col precedente si ha che " se esiste una con- 

 " gruenza che tien fisso a e converte b e c nei loro simmetrici rispetto ad a, esiste 

 " una congruenza che converte in se stesso p{abc), lasciando fisso a e portando ogni 

 " altro punto del piano, aderente ad «, nel suo simmetrico rispetto ad a „. Riguardo 

 alla trasformazione del piano p{abc) le due congruenze coincidono, cioè: 



Tr. 3. — " Ogni congruenza che lasci fisso un punto a e converta due punti 

 " aderenti ad a e non allineati con esso nei loro simmetrici rispetto ad a, conver- 



