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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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" tira ogni punto del piano doi tre punti, aderente ad a nel suo simmetrico rispetto 

 " ad rt Infatti il prodotto della congruenza data per quella di cui, secondo la 

 precedente osservazione, questa determina l'esistenza, tien fisse x{ab), r(ac) e quindi 

 tutto il piano p{aòc). 



Def. — La trasformazione determinata in un piano da una congruenza che tenga 

 fisso un punto a e ribalti ogni retta del piano, passante per a, si dice semirotazione 

 del piano intorno ad a, o simmetria nel piano rispetto ad a. 



Tr. 4. — "Se per un punto — in un piano - passa una coppia di rette per- 

 " pendicolari, ad ogni retta per quel punto, in quel piano, esiste la perpendicolare in 

 " quel punto „. Sia a il punto per cui passano due rette r ed s perpendicolari fra 

 loro: pel teor. 1 esiste una semirotazione del piano intorno ad a. Se allora si ripren- 

 dono le considerazioni del teor. 2, si vede che come retta x{ah) vi si può assumere 

 una retta qualunque per a nel piano. 



Tr. 5, — " Su ogni piano contenente una coppia di punti non coerenti e per 

 " ciascuno di questi punti passa una coppia di rette perpendicolari „. Siano a q b due 

 punti non coerenti, r una retta per h aderente ad a. Si ribalti il piano pfrtr) intoino 

 ad r e sia p,a =■ a' . La retta x{a'b) contiene la coppia di punti non coerenti a'b; quindi 

 per ogni suo punto possiede il punto non aderente. — Se a resta fisso per p<,.t, è 

 t(aè) J. r(a'è) (10 t. 10): per b passa intanto una coppia di rette perpendicolari; ma 

 volendosi mostrare che in ogni caso una tal coppia di rette passa per a, si osservi 

 che, mutando la r, muterà pure la x(a'b) (^) e poiché per b non possono passare due 

 ±r(aò), si potrà sempre supporre a mosso da Po,;,. — Sia Pa,ia = a"; è x{a'b) ±x{aa") 

 e poiché x{a'b) possiede coppie di punti non coerenti, ogni sua coppia di punti sim- 

 metrici rispetto a x{aa") possiede due punti medi, l'uno su. r(aa"), l'altro non aderente 

 ad essa e fisso per p„a''. La retta per a e per questo punto é _Lr(aa"). 



Tr. 6. — "Se in un piano esistono due punti non coerenti, ad ogni retta del 

 " piano ed in ogni suo punto esiste nel piano la perpendicolare „. Siano a e b due 

 punti non coerenti sul piano considerato. Si é mostrato che in a esiste una coppia 

 di rette perpendicolari: esiste quindi la ±x{ab) in a (t. 4); sia r. Il punto b resta 

 fisso per Pr. Sia allora c un altro punto qualunque del piano: se c appartiene ad r, 

 si ha già x{bc)±r (IO t. 10); se c non appartiene ad r é ancora x{bc)±r e debbono 

 distinguersi due casi: o x{bc) incontra r in un punto d; b e d non sono coerenti e 

 su x{bc) esiste un punto non aderente a c; per c passa allora una coppia di rette 

 perpendicolari secondo il teor. 5, — ovvero x{bc) non incontra ;•; su r esiste allora 

 un punto f fisso per p,,, (10 t. 12) non aderente a x{bc) e x{fc)±x{bc) (10 t. 10). — 

 Allora, a norma del teorema 4, ad ogni retta per c esiste nel piano la perpen- 

 dicolare. 



Tr. 7. — "Se un punto a ha un punto non aderente b, su ogni piano per a e b 

 " esiste una retta di punti non aderenti ad a, e questa retta é il luogo dei punti 

 " del piano che godono di questa proprietà „. In un piano per a e 6 si consideri 



(') a e b non sono coerenti; quindi, se non mutasse la t(a'6), resterebbe invariato a. I ribal- 

 tamenti intorno alle diverse r indurrebbero sulla r(aa') lo stesso ribaltamento intorno ai a\a. Ora 

 esistono al più due rette r per cui possa determinarsi sulla i(ao') lo stesso ribaltamento: la con- 

 giunsrente h con un a\a' e la perpendicolare a questa in b (ammesso che tal perpendicolare esista) 



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